数学建模(紧急撤离)

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1、问题的重述最近世界各地接连发生强烈地震，造成人员重大伤亡，遇难者大多是被倒塌的建筑掩埋或挤压而失去自己的生命，在人员聚集的场所（如学校）伤亡犹其惨痛。如果地震发生之时人们能在第一时间迅速撒离建筑物，那么伤亡可能会小得多！因此，在灾难发生之时，建筑物内的人员是否能迅速撤离是有关人身安全保障的大问题，对于一个特定的建筑物，大家最关心建筑物内所有的人全部撤离完毕所用时间，以便于安排建筑物的出口以及撤离方案、请绘出你所在的宿舍或教室的平面示意图，收集相关数据，完成下面的问题：1、  建立数学模型来分析这栋楼的人员有组织、有秩序地迅速疏散、撤离所用的时间；2、根据你建立的数学模型给出最佳

2、撤离方案；3、为方便紧急撤离，结合实际，就该楼的设计方案给出合理化的建议。4、就若教学楼按你预计的方案建设,考虑到不同年龄的学生的运动能力不同, 为方便紧急撤离，给学校提供合理的教室安排方案。问题的分析：一、模型的原理与建立校园紧急撤离主要由教室疏散、水平通道（走廊、大厅一类的通道)疏散、楼梯通道疏散组成。水平通道比较宽畅，一般不会出现堵塞。本文主要讨论成为疏散瓶颈的教室疏散、楼梯通道疏散。（一）教室疏散紧急疏散情况非常复杂，很难对人群个体特性一一考虑，我们作理想化处理:假设人群在教室等单位空间按某一密度均匀分布，将人群疏散作一个整体运动来处理，模拟成水在管道内的流动。解释几个

3、相关概念:(l)人群密度p，反映一个空间内人群稠密程度，(2)人体投影面积，由人体各方向上的最大生理尺寸决定，常由肩宽度和胸厚度决定，并将人体抽象成椭圆形(如图l)或矩形(如图2)为简便计算和实际应用，我们选取人体的矩形模型，此时人体水平投影面积，单位；另一方面，疏散行走时人的周围往往留有间隙，根据我国《建筑设计资料集》人活动空间尺度中的要求，行走时，人与人前后左右之间距离为40mm，我们规定人员行走水平投影有为。(3)有效疏散宽度，人在运动时，为保持身体平衡需摆动两侧的手臂，这样会与走道的固体边界间保持一定距离，即存在一个边界层，进行疏散计算时，疏散通道或出口的净宽度需减去边

4、界层宽度12].楼梯或出口的边界为墙体时，边界层宽度为150mm，而当边界为扶手时，边界层宽度则为90mm。学生从教室紧急撤离时，由于教室中存在着桌椅等障碍物，他们的行动路线不是到教室出口的直线型运动路线，而应该是折线式的“L”型运动，如示意图3.为缩短教室疏散时间，假定教室前后门各负荷一半出口人流.设a为教室单元的半长度(m)，为教室单元的宽度(m)，为疏散者在教室内的运动速度(m/s)，T为疏散开始后经过的时间(s)，为疏散教室单元内的人群密度(人/)，为时刻T时能到达教室出口的疏散总人数(人).由图4知，疏散经过时间T后位于阴影部分的疏散者到教室出口的折线距离均不大于,换

5、言之，处于阴影部分的疏散者在时间T内都能到达教室出口.这样由图4的分析可得在疏散时间T内能到达教室出口的疏散者人体水平投影所占据的相应有效面积S阴影与时间T的函数关系为:由上面模型可计算出教室疏散时间为：1另一方面，教室出口是疏散的一个瓶颈，一般会堵塞，经过时间乃，疏散者连续不断地从教室出口流出(见图5)，由面积相等得则2，其中:D为教室出口的有效宽度，为流出教室的人流速度，为人员在教室行走投影占据的平均面积.由1,2式分别计算教室疏散时间和,若>，表示在教室出口不会出现堵塞，则教室疏散时间为;若>，表示教室出口显现拥挤和堵塞，则教室疏散时间为.又经过时间T能到达教室出口的疏散

6、者总人数在时刻(T+△T)时，在时间间隔△T内人群向教室出口集结，集结在教室出口部分的人数为3从上述模型可知，固定△T，是时间T的一个分段函数;当时间接近时，集结在教出口的人数最多，然后减少，并在时间段保持稳定，接着慢慢减少到零(见图6).如果要使教室出口不产生堵塞，则在任何时间间隔△T内，集结在教室出口的最大人数都必须在△T时间内从教室出口流出，根据2、3得即当时得出教室出口最优的有效宽度计算公式。（二）楼梯通道楼梯也是疏散的一个瓶颈，会出现拥挤、堵塞和等待，为此我们作如下虚拟处理:把楼梯通道看作一个很长的“门”，“门”的长度为楼梯长度由于会出现等待，相当于把人流按相应的密度

7、，以“门”的宽度延伸排列，就象长的火车过L长的隧道.比较“门”的长度L与以“门”的宽度延伸排列出来的队伍的长度，看是否有等待时间计算等待时间再加上最后一层最后一个同学下来所用的时间，需要用的疏散时间.因（P为通过楼梯通道的总人数，D为楼梯的有效宽度，为人员行走时投影占据的平均面积，为人流长度)，要使疏散中在楼梯不产生堵塞，则必须使等待时间T=0，即,可得楼梯通道最优的有效宽度计算公式。2.模型实例以某校为例，对教学楼进行实测，获取实际数据进行计算。(1)数据每班学生人数为50人，教室长8.8