chapter10_1 清华大学《现代信号处理》讲义-胡广书

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1、第10章离散小波变换的多分辨率分析10.1多分辨率分析的引入10.2多分辩率分析的定义10.3空间V、W中信号的分解jj10.4二尺度差分方程10.5二尺度差分方程与共轭正交滤波器组10.6Mallat算法10.7Mallat算法的实现10.8小波变换小结离散化CWT→DWTjjaaa=,2===;bkbbkbjkZ,2;,∈0000−−jj/2ψψ()2tt=−(2k)jk,∗WTjk(,)=xt()ψ()tdtdk()xj∫,kj∞∞xt()=∑∑dkjj()ψˆ,k()tjk==0−∞离散

2、小波变换和小波级数，式中t仍然是连续的xt()=xnT()letT=1tnT=sss−−jj/2ψψ()tn=2(2−k)jk,tnT=s如何得到离散序列的小波变换(DSWT)∞jj−∗j/2−jWTx(2,2k)=2∑xn()ψ(2nk−)n=−∞此式在文献上看不到，原因是实际应用中有困难：（1）除少数的母小波外，大多数小波无闭合的表达式，所以不易简单地利用tn=T来得到离s散小波；（2）按上式求出的小波变换往往不具有移不变性；（3）当令ψψ()tn=()时tnT=s−jj不一定是整数，使2/n

3、n=2实现起来有困难10.1多分辨率分析的引入在80年代后期，由Mallat,Meyer等创建的“多分辨率算法”有效的解决了离散序列的小波变换问题，它也是小波变换的快速算法。MATLAB中的DWT，实际上就是Mallat算法。现举例来说明多分辨率分析的基本概念：例φ()t⎧101≤t<1令φ()t=⎨⎩0其它01t显然，φ()t的整数位移相互之间是正交的，即〈φ()tktk−−,φδ()()′〉=−kk′kkZ,′∈{φ()tkkZ−},∈构成一组正交基记：Vt0=−Span{φ(k)}2设：xt

4、()∈LR()记：Pxt()是xt()在V中的投影，则00P00xt()=−∑aktk()(φφ)=∑ak0()0,k()tkkak():加权系数0φ()tt=φ(−k)0,k1tφφ()tk=(−)1,k22Pxt()在空间V对xt()的近似00P0xt()xt()φ()t1tt01ak()0ak()0离散序列k−−jj/2令：φφ()2tt=(2−k)jk,11φφ()tt=(−k)即jk,j2j2：φ()t作伸缩和移位所·产生的下面证明：同尺度下尺度函数的整数移位也是正交的，即〈〉φ(),t

5、tkφδ()=(−k′)jk,,jk′证明：证明：11因为：φφjk,()tt=(j−k)2j2所以：1tt∗〈〉φφ(),tt()=−φ(k)(φ−k′)dtjk,,jk′jj∫j222t令：=t′j2所〈φ(),ttφ()〉=以：jk,,jk′∗∫φφ()tktkd′−()()′′′−=−tδkk′以上结果表明，对Haar函数φ()t，在同一尺度j下，其整数位移之间是两两正交的。t令：jt=⇒1,φφ()()2−−1/21当然是两φφ()2tt=(2−∈k),kZ1,k两正交的记φ1,k()t

6、张成的空间为V1xt()在VPxt()ak()()t1=∑φ111,kk中的投影ak()加权1系数Pxt()1Pxt()xt()1φ(2)t1t02tak1()ak()1kφ0,k()tt=−φ(k)V0P0xt()ak0()11φφ()tt=−(k)VPx()ta()k1,k1112211φφ()tt=−(k)VPx()ta()k2,k2222222MMMM11φφ()tt=−(k)VPx()ta()kjk,jjjj2j2−∞⇐j⇒+∞每一个空间都有一LL,,,,,VVVV−1012组正交基思考

7、:空间Vj和Vj+1，那一个对xt()的近似要好显然，j越小，Pxtj()对xt()的近似越好，也即分辨率越好。如：Pxt()好于Pxt()，并有：01Pxt()=xt()jj→−∞完全逼近Pxtj()=0逼近误差无穷大j→∞显然：tφ()=φ(t)+φ(t−1)2可以想象，低分辨率的基函数（如φ(/2)t）完全可以由高一级分辨率的基函数（如φ()t）所决定或者：低分辨率的空间（如V1）应包含在高分辨率的空间中（如V），即0VV⊃01从信号的逼近看，有两个相邻空间Pxt011()=Pxt()+Dx

8、t()逼近之差，应概貌是一些细节含义：xt()在高分辨率基函数所形成的空间中的近似等于它在低分辨率空间中的近似再加上某些细节。如何得到细节D1xt()ψ()tHaar取一基⎧101≤t