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1、11.4Daubechies正交小波构造φ()t思路：由Hz0()ψ()tφ()tψ()t：正交、紧支撑要求：ψ()t：高阶消失矩φ()tψ()t：好的规则性，即尽可能平滑−1已给1+zpHz()=2()()Qz0定：2对小波函数和尺度函数的要求转化为对滤波器的要求：−11+zpHz()=2()()Qz021.Hz()=2低通特性的要求01z=2.Hz()在z=−1要有零点，且零点0的阶次（p）越高越好;p−13.要保证supQ()ω<202≤≤ωπpm−−1规则性要求，supQ()ω<2m越02≤≤ωπ大越好−11+zp若能pQz,()确H
2、()zQ=2()()z02定，则H0()z也就确定jjωω−Qz():系数是实数,Qe()=Qe()Qz()Qz()≠=0,()Qz1zz=−11=p−1supQ(ω)<20≤ω≤2π目标：如何求出具有最小阶次m且满足上述要求的多项式Qz()，并使得22HH()ωω+(+=π)200满足CQMFB1+z−1Qz():阶次为mpH()zQ=2()()z0H()z:阶次为mp+20Daubechies证明了：满足要求的Qz()的最小阶次为：mp=−1这样，H0()z的阶次为21p−；即hn0()有Np=2个系数。Daubechies算法的导出：p
3、−jjωω22⎡⎤11++eeHe()jjωω=⋅22⎢⎥Qe()0⎣⎦22p⎡⎤2ωj2=2cosQe()ω⎢⎥⎣⎦2pjj22⎡⎤2ωHe()2cωω=osQe()0⎢⎥⎣⎦2ω的偶函数，可也是ω的偶函数，故表为cosω的函数也可表为cosω的函数2jω2Qe()(1cos)−ωsinω因为=2222sinωQ()2所以p2j2⎡⎤22ωωHe(ω)=−21sinQ(sin)0⎢⎥⎣⎦22p2j2⎡⎤22ωωHe(ω)=−21sinQ(sin)0⎢⎥⎣⎦222ω令y=∈sin()[]0,1222ω2则QQ(sin)⇒()y222ω2再令P
4、()yQ==(sin)Q()y22jpωHe()2=−(1)()yPy0则2jp()ωπ+He()2(=yPy1−)022由HH()ωω+(+=π)200ppBezout有(1−+yPyyPy)()(1−)=1方程y∈[0,1]任务：2Py()=Qy()≥0求Py()2ωy=sin()222ωPy()=Q(sin)2pp(1−y)P(y)+yP(1−y)=1Bezout方程Bezout定理指出:若Q1(y),为阶次Q2(y)n1，n2的多项式，且二者之间没有共同的零点，那么，唯一地存在两个阶次分别为n1−1，n2−1的多项式P1(y)P2(y
5、)，使得Q(y)P(y)+Q(y)P(y)=11122pQy11()(1),=−ynp=P()yPyp=():−1令1p则Qyynp22()==,P2()y=P(1):−−yp1无共同零点可以p−1⎛⎞pn+−1npPy()=+∑⎜⎟yyR(12)−y求n=0⎝⎠n出：R(y)是一奇对称多项式，即R(y)=−R(1−y)R(y)的不同选择可构造出不同类型的小波，在构造正交小波时，Daubechies选择Ry()0=p−1⎛⎞pn+−1n因此Py()=∑⎜⎟yn=0⎝⎠n有：−1P(z)=Q(z)Q(z)因2P()yQ=()y2为jjωωω*j
6、Qe()=QeQe()()2jjωωω*jQe()=QeQe()()p−1⎛⎞pn+−1⎡⎤n2ω=∑⎜⎟⎢sin⎥n=0⎝⎠n⎣2⎦np−1⎛⎞pn+−1⎡2−−zz−1⎤−1QzQz()()=∑⎜⎟⎢⎥n=0⎝⎠n⎣4⎦给定p,右边多项式可求。做谱分解，可将单位圆内的零点赋给Qz()，则Qz()是最小相位的。−11+zp这样H()zQ=2()()z0可以求出2ψ(t)例令p=1，求db小波(t)及尺度函数φnp−1⎛⎞pn+−1⎡2−−zz−1⎤由−1QzQz()()=∑⎜⎟⎢⎥n=0⎝⎠n⎣4⎦Qpn=1,∴=0,Q()z=1由−11+
7、zp2−1H0()zQ=2()()zH0(z)=(1+z)22求h0(0)=22h0(1)=22出：由滤波器系数⇒φ():t[2]2222hn0()==()1,1*1,0,1{}{}()1,1,1,1{}22[3][2]223hnhn00()==()*{}1,0,0,0,1()1,1,1,1,1,1,1{}22M[]JJ2hn()=(){}1,1,L,102hn()[0,1]=02hn[]J()()J压缩到t=0~10φ():tt=0~12的范围内，得：⎧10≤t<1φ(t)=⎨⎩0其它由FB的关⎧22⎫系，求出h1(n)=⎨,−⎬⎩22⎭∞
8、tψ()=2∑h1(n)φ(t−n)=φ(t)−φ(t−1)又2n=−∞可⎧10≤t<1/2求⎪ψ(t)=⎨−11/2≤t<1出⎪⎩0其它Haar小波令p=2，求d
