麦克劳林定理

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1、麦克劳林定理第一步首先要明确∠PCF=∠PDF，也就是∠BCF=∠ADF。 根据圆周角定理——同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。这两个角都是劣弧AB所对的圆周角，都等于∠AOB(O是圆心)的一半，所以是相等的。然后根据正弦定理可以得到sin∠DPF/sin∠PDF=DF/PF同理可得sin∠PCF/sin∠CPF=PF/CF最后DF/CF=AF/BF是根据三角形BFC和三角形AFD相似得到的，相似理由仍然是圆周角定理。第二步AE=BE，对于圆上任意两点切线的交点都可以得到这个结论。在三角形PAE中运用正弦定理得sin∠APE/sin∠PAE=AE/PE 在三角形PBE中运用正弦定

2、理得sin∠BPE/sin∠PBE=BE/PE 因为AE=BE所以 sin∠APE/sin∠PAE=sin∠BPE/sin∠PBE 这个式子改换一下形式就是第二步第一个式子其次，要注意O点并不在EP线上，并且实际上此时我们不知道F点和EP线的关系。因为OB垂直于EB，所以sin∠PBE=sin∠(90°+∠PBO)=cos∠PBO⑴由于三角形OBC是个等腰三角形所以 cos∠PBO=sin(0.5*∠BOC)又由于圆心角是圆周角的一半，所以0.5*∠BOC=∠BAC因此 cos∠PBO=sin(0.5*∠BOC)=sin∠BAC⑵⑴⑵式联立可得sin∠PBE=sin∠BAC同理可得sin∠

3、PAE=sin∠ABD上下相除即可得第二步的第二式第三式根据圆周角定理易得∠BAC=∠BDC同理可得∠ABD=∠ACD 则sin∠ABD/sin∠BAC=sin∠ACD/sin∠BDC⑶根据正弦定理可得sin∠ACD/sin∠BDC=DF/CF⑷再根据三角形ABF和三角形CDF相似可得DF/CF=AF/BF⑸⑶⑷⑸式联立可得sin∠ABD/sin∠BAC=AF/BF