理论力学全套解疑12

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1、第十二章刚体的定点运动题12-1怎样确定瞬时角加速度ε的方向，怎样理解作定点运动的刚体在一般情况下角速度矢ω与角加速度矢ε并不同轴？dωdr解答由定义ε=，与点的速度公式v=对比（题12-1图a），可见dtdtε应沿ω矢端曲线的切线方向。在一段时间内连续画出不同瞬时的瞬时角速度矢ω，这些ω组成一个锥面，矢端E就描绘出一条轨迹如图(b)所示。所以dωε=u=，ε矢径也可画在定点O上。一般情况下，一个矢量的矢端曲线的切Edt线与该矢量是不共线的，因此，ω与ε一般也不同轴。题12-1图题12-2请图示说明vM、aN、aR的方向。解答vM、aN、aR的方向已分别表示在题12-2图中。其中vM

2、垂直于OMA平面也即点M运动轨迹的切向。aN指向瞬轴OA，故名向轴加速度，而不是向心加速度。aR垂直于OMB平面着，aR并不沿M点运动轨迹的切向，所以不叫切向加速度而名转动加速度。86题12-2图题12-3图题12-3刚体绕相交轴转动的合成与刚体的定点运动有什么关系？解答刚体绕相交轴转动的合成运动是一种特殊的刚体的定点运动，这个定点就是相交轴的交点，下面来说明这一关系。设刚体绕轴OO2有相对角速度ωr，轴OO2绕轴OO1有牵连角速度ωe，刚体的绝对角速度ωa=ωe+ωr，（题12-3图）。为证明上述角速度关系式，取转动平面O1OO2作为动参考系，定参考系固连于地面，不难证明，这时刚体

3、上存在一条通过点O的轴线，其上各点在这瞬时的速度都等于零。显然，以角速度矢量ωr和ωe为邻边所作出的平行四边形对角线上所有的点其速度都等于零。我们可以取对角线上点C为代表，由点C向OO1及OO2作垂线CE和CD，则点C的相对速度和牵连速度分别是v=ω⋅CDCrrv=ω⋅CECee以上两个等式右边的数值都正好等于平行四边形OACB的面积，所以v=v，CrCe这就证明了vCa=0。于是OC就是刚体的瞬轴。再在刚体上任取一点M，其矢径为r，绝对速度va。可以表示为va=ωe×r牵连速度和相对速度可分别表示为ve=ωe×rvr=ωr×r由速度合成定理va=ve×vr因此ωa×r=ωe×r+ω

4、r×r=(ωe+ωr)×r所以ωa=ωe×ωr这就说明了刚体绕两相交轴转动时，绝对运动是绕通过这两轴交点的瞬轴的转动，也就是绕通过定点O的瞬轴的转动（定点运动）。其绝对角速度等于牵连角87速度与相对角速度的矢量和。这一结果同时说明了角速度不仅可以用矢量来表示，而且服从矢量相加的运算规则。题12-4试找出下列各题中刚体的瞬时转动轴并求出角速度矢ω，指出刚体作定点运动的定点O的位置。（1）母线长为l的圆锥，沿固定水平面滚而不滑，顶点O不动，底面中心O1的速度为u（题12-4图1a）。题12-4图1解答因圆锥体滚而不滑，所以OA线上各点的速度为零，于是瞬时转动轴即沿图中y轴方向。从O1点作

5、垂线O1C与y轴垂直，则O1C就是O1点的瞬时转动半径，即u=OC⋅ω1而αααlOC=OOsin=lcossin=sinα112222所以2uω==常数lsinαω、ωe与ωr的方向如图(b)所示。ωe与ωr的交点O即为定点运动的定点位置。（2）圆盘AB绕通过中心D垂直于盘面之轴OC转动，转速为n1=6rpm，而轴OC绕OE轴转动，转速为n2=10rpm（题12-4图2a），若α=20°。解答圆盘绕OC轴的转动角速度为相对角速度ωr，方向沿OC（题12-4图2b）其大小为2πn12π×6ω===0.2π(rad/s)r606088OC轴绕OE轴转动角速度为牵连角速度ωe，方向沿OE

6、，其大小为2πn2π×1012ω===π(rad/s)e60603由角速度合成定理ω=ωe+ωr作角速度矢量图可求得绝对角速度ω，其大小为22ω=ω+ω+2ωωcosαerer2⎛1⎞2πa=⎜π⎟+(0.2π)+2××0.2π×cos20⎝3⎠3=1.65(rad/s)ωeaasinβ=sin(180−20)=0.217ωβ=12°12′定点位置为O点，瞬时转动轴沿题12-4图2(b)中ω的方向。题12-4图2（3）圆锥滚子在水平圆锥形支座上滚动（题12-4图3a），滚子底面半径R=1002(mm)，顶角2α=90°，滚子中心的速度为vA=200(mm/s)。解答滚子绕OA轴转动角

7、速度为相对角速度ωr，OA轨绕铅垂轴转动角速度为牵连角速度ωe，滚子上C点的速度为零，所以瞬轴沿OC，定点位置为O，作角速度矢量图（图b）可得v200Aω===2(rad/s)eOA100289ω=ω=2(rad/s)rCω=2ω=2(rad/s)e题12-4图3题12-4图4（4）在题12-4图4所示差动机构中，曲柄Ⅳ上装有活动的半径为r=20(mm)的行星锥齿轮Ⅲ，曲柄可绕固定轴OD转动，行星锥齿轮与锥齿轮Ⅰ、Ⅱ啮合，此两齿轮角速度为ω1=5(rad/