理论力学全套解疑13.pdf

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1、第十三章质点运动微分方程题13-1质点的运动微分方程和运动方程有何区别？解答在牛顿第二定律ma=∑F中，用质点对固定点O的矢径r对时2dr间的二阶导数代替质点的加速度a，则第二定律可写为2dt2drm2=∑Fdt上式称为矢量形式的质点运动微分方程。将此矢量方程投影到直角坐标轴上，就得到直角坐标形式的质点运动微分方程2dxm2=∑Fxdt2dym2=∑Fydt2dzm2=∑Fzdt若将牛顿第二定律投影到质点运动轨迹的自然轴系：切线方向、主法线方向和副法线方向，则可得到自然形式的质点运动微分方程：2dvdsmaτ=m=m2=∑Fτdtdt22vs"man=m=m=∑F

2、nρρmab=0=∑Fb同样，若将牛顿第二定律投影到质点运动轨迹的径向和横向，可得平而极坐标形式的质点运动微分方程⎡22⎤dr⎛dϕ⎞mar=m⎢2−r⎜⎟⎥=∑Fr⎢⎣dt⎝dt⎠⎥⎦2⎡dϕdrdϕ⎤maϕ=m⎢r2−2⎥=∑Fϕ⎣dtdtdt⎦由此可见，将牛顿第二定律表示为包含质点坐标对于时间的导函数的方程称为质点的运动微分方程，它建立了质点的运动与所受的力之间的关系，属于质点动力学的范畴。质点的运动方程表达了质点位置随时间变化的规律，它从几何的角度描述了质点的运动规律。例如r=r(t)称为矢量形式的质点运动方程；x=x(t)、y=y(t)、z=z(t)称为

3、直角坐标形式的质点运动方程；s=s(t)称为弧坐标形式的质点运动方程等等，它属于质点运动学的范畴。所以，质点的运动微分方程和质点的运动方程是不同的。但是，两者之间又存在密切的关系。质点的运动微分方程并没有给出质点的运动规律，为了获得质点确定的运动规律，必须对质点的运动微分方程在给定的初始条件下进行积分，这个积分（又称为运动微分方程的解）就是质点的运动方程。对于一个质点动力学问题，建立了运动微分方程并没有使问题获得完全解决，只有求出运动微分方程的积分，即得到了质点的运动方程，问题才算完全解决了。题13-2已知质点的运动是否就可以确定作用于质点上的力？已知作用于质点上

4、的力是否就可以确定质点的运动？解答若已知点的运动，比如运动方程，那么，只要对时间求二阶导数即可求得质点的加速度。将质点的加速度乘以质点的质量就可以完全确定出作用在质点上的力，这就是所谓质点动力学第一类基本问题。已知作用于质点上的力，是否就可以确定质点的运动呢？还不能确定。所谓确定质点的运动就是要求出运动微分方程的积分，这就是所谓质点动力学第二类基本问题。运动微分方程的积分中包含着积分常数，这些积分常数要由质点运动的初始条件来决定。只有在积分中的积分常数确定以后，质点的运动才算确定了。所以，要完全确定质点的运动，除了要已知作用于质点上的力以外，还必需知道质点运动的初

5、始条件。两个相同的质点，受相同的力的作用，它们的运动方程相同，但它们的运动规律（指运动方程）不一定相同，还要看其运动的初始条件。若运动初始条件也相同，则其运动规律也相同，否则运动规律就不相同。题13-3“质点运动的方向就是作用在质点上的合力的方向”。这种说法对不对？解答这种说法不对，至少是不全面的。质点的运动方向，即速度方向，是沿着质点运动轨迹的切线方向的。而作用在质点上的合力方向则与质点加速度的方向一致（题13-3图1）。例如，在地面上发射导弹，当导弹进入稀薄大气层后，空气阻力可忽略不计。这时导弹的重力就是作用在导弹上的合力，其方向铅直向下（题13-3图2），而

6、导弹的运动方向即速度方向，则沿着抛物线轨迹的切线方向。只有当质点在力的作用下沿直线作变速运动时，质点运动方向才与作用在其上的合力的方向线在同一直线上（二者均沿水平方向，如题13-3图3所示）。题13-3图1题13-3图2题13-3图3题13-4图出现题中错误说法的原因在于：把直线运动的特殊情况当称了一般情况，将速度（而不是速度的变化率——加速度）与受力联系起来了。题13-4“质点的速度越大，所受的力也越大。”这种认识对吗？解答这种认识是错误的。例如，质点在弹簧力F的作用下沿水平光滑轨道作往复直线运动——简谐振动（题13-4图a），当质点处在两个极端位置A和A1点时

7、（题13-4图b），质点所受的弹簧力F的大小虽然达到最大值Fmax=k

8、xmax

9、。但此时质点的速度却为零。以后，随着质点的水平向左运动，速度逐渐增大，当质点经过平衡位置（振动中心）O时，速度增加到最大值vmax。而在此时，弹簧力减小为零。由此可见“质点速度越大，所受的力也越大”的说法是不正确的。产生这种错误认识的原因在于，分析问题时没有以牛顿第二定律为理论根据。牛顿第二定律告诉我们，质点受力后，沿着力的方向产生加速度，此加速度的大小与作用力成正比，与质量成反比。因此，不要总是将运动速度与受到的力相联系，而应当将加速度与受到的力相联系。题13-5“设P=2Q，滑轮

10、及绳子的质