理论力学全套解疑14.pdf

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1、第十四章动量定理、动量矩定理题14-1“质量为M、长度为l、以角速度ω绕O轴转动均质细杆OA，它的动量K=∑mv的大小等于MvC，方向与vC相同并通过质心C（题14-1图1）。试问这种说法是否恰当？解答质点系的动量K是指系内所有各个质点动量的矢量和（主矢量）——动量主矢，即K=∑mv而并未给出动量K的作用点，这个作用点在研究质点系的动量时一般并不关心。如果因为表达式K=∑mv=mvC的存在，就认为K通过质心C，那是不恰当的。实际上，质点系的动量主矢K=mvC只说明K的大小等于MvC，即K=MvC以及K的方向与vC相同，并不说明K的作用点是质心C，

2、只有在谈到质点系的合动量时，才涉及作用点的问题。我们知道，当OA杆绕O轴以角速度ω作定轴转动时，杆上所有各质点的动量形成一个动显系（相当于力系）如题14-1图2所示，此动量系可以简化为一个合动量K合（相当于力系可以简化为一个合力那样），此合动量的大小和方向与动量主矢K=MvC相同（即合动量大小等于MvC、合动量方向与vC相同），但合动量2K合的作用点并非质心C，而是距转动轴l的C1点（题14-1图2）。这一结论既可3以从动量系呈三角形分布明显地看出，也可以通过将此动量系向质点C进行简化（就象力系向已知点简化那样）而得到：将杆上所有各质点的动量向质

3、心C简化，于是，得到一个通过质心C的动量主矢K=∑mv=mvC和一个动量主矩HC=∑mC(mv)=JCω（题14-1图3）。由于HC≠0，所以通过质心C的K=MvC并非合动量。为了求得细杆OA的合动量K合，可以仿照力系简化时的作法，将动量主矢K和动量主矩HC进一步简化为一个通过C1点的合动量K合，其简化过程及最后简化结果如题14-1图(4)及题14-1图(5)所示。题14-1图2题14-1图3在题14-1图4中，K″=K－K′=MvC，K″⋅d=HC，从而HJωCCd==K′′MvC2Ml/12⋅ω1==lM⋅l/2⋅ω6于是，求得合动量K合的作

4、用点C1到转动轴O之间的距离为112OC=l+l=l1263题14-1图4题14-1图5通过以上讨论可知：（1）质点系的动量即动量主矢只涉及大小和方向而不涉及作用点的位置，因此，“质点系的动量通过质点系质心”的说法是不恰当的。（2）质点系的合动量按大小和方向等于质点系的动量主矢，合动量的作用点一般也并不在质点系的质心，其具体位置可通过将动量系向质心简化而进一步求出。l题14-2在上题中，“细杆OA对O轴的动量矩的大小H=Mv⋅”，对不OC2对？l解答细杆OA对O轴动量矩的大小H=Mv⋅（参阅题14-1图1及OC214-1图5）是不对的。我们知道，

5、定轴转动刚体对转动轴的动量矩HO=∑mO(mv)=JOω12vC2vC令J=Ml,ω==，因此，正确的答案应为O3l/2l⎛12⎞2vC2lHO=⎜Ml⎟⋅=MvC⋅⎝3⎠l32Ml或H=ωO3当然，因为“合动量对O点之矩等于各分动量对同一点之矩的代数和”，即∑mO(mv)=MO(K合)因此，也可以采用以下方法求出细杆OA对O轴的动量矩2HO=∑mO(mv)=MO(K合)=K合⋅l32=Mv⋅lC3l但是，为什么出现H=Mv⋅这样的错误等式呢？其原因在于：误将通过OC2质心C的动量主矢K当成了合动量K合。通过此题应注意以下几点：（1）熟练掌握定轴

6、转动刚体对转动轴的动量矩的计算公式H=Jω，并能OO正确地应用。（2）若应用“合动量对某点之矩等于各分动量对同点之矩的代数和”去计算动量矩时，必须首先求出合动量的作用点，而不能轻率地认为合动量作用在质点系的质心。题14-3在光滑的固定水平面上放着一个静止的刚体，当它受到一个作用面与水平面平行的力偶（F,F′）作用时（题14-3图），为什么在水平面内绕通过质心并垂直于水平面的轴Cz转动？解答刚体受以下诸力的作用：重力、光滑水平面的铅直反力以及力偶（F,F′）。由于刚体在铅直方向无加速度，故重力与铅直反力互相平衡。而力偶（F，F′）是一对大小相等、方

7、向相反、不共线的平行力，其矢量和为零。因此，根据质心运动定理MaC=∑F可知aC=0，故vC＝常量，即质心C作惯性运动。但根据题设条件，刚体原来处于静止，即v=0，因此有v=0，即质心C静止不C0C动。这就说明刚体将在水平面内绕通过质心并垂题14-3图直于水平面的Cz轴转动。题14-4两根长度相等、重量分别为P1和P2的均质杆AD和BD铰接于D点。将此机构放置在铅直平面内，并使杆端A和杆端B与水平地面接触（题14-4图1），设地面绝对光滑，因此机构将无法维持平衡，必然分开而倒向地面。试问在下列两种不同的情况下，连接点D的运动轨迹是否相同？（1）P

8、1=P2；1（2）P=P。122解答取整体机构为研究对象。（1）P1=P2题14-4图1题14-4图2机构的受力图及坐标系如题14-4图