《统计量与抽样分析》PPT课件

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1、第二节统计量与抽样分布一、统计量二、统计学中三个常用分布和上α分位点三、抽样分布定理一、统计量由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）信息集中起来.定义中不含有任何的未知参数，则称函数g(X1，X2，…,Xn)如果样本X1，X2，…,Xn的函数g(X1，X2，…,Xn)为统计量.g(x1，x2，…,xn)为统计量g(X1，X2，…,Xn)的一个若x1，x2，…,xn是相应的样本值，则称函数值观察值.若,2已知,则是统计量，而例如：是X的一个

2、样本,则不是统计量.也是统计量.是未知参数,几个常用的统计量样本均值样本方差它反映了总体均值的信息它反映了总体方差的信息样本k阶原点矩样本k阶中心矩k=1,2,…它反映了总体k阶矩的信息它反映了总体k阶中心矩的信息它们的观察值分别为：由大数定律可知：依概率收敛于例1.从一批相同的电子元件中随机地抽出8个，测得使用寿命（单位：小时）分别为：2300，2430，2580，2400，2280，1960，2460，2000，试计算样本均值、样本方差及样本二阶矩.解：抽样分布统计量是样本的函数，而样本是随机变量，故统

3、计量也是随机变量，因而就有一定的分布，它的分布称为“抽样分布”.二、统计学中三个常用分布和上α分位点下面介绍三个来自正态总体的抽样分布.分布1、定义:设相互独立,都服从标准正态分布N(0,1),则称随机变量：所服从的分布为自由度为n的分布，记为分布的概率密度为在其中是函数处的值.n=1n=4n=10f(y)01357911131517x0.50.40.30.20.1有所改变.分布的概率密度图形如下：显然分布的概率密度图形随自由度的不同而性质1.设则证明：设相互独立,则分布的性质：这个性质称为分布的可加性.性

4、质2.设且与相互独立，则t的概率密度为：定义:设X～N(0,1),Y～所服从的分布为自由度为n的t分布.记为t～t(n).2、t分布，且X与Y相互独立，则称变量n=4n=10n=1t(x;n)t分布的概率密度函数关于t=0对称，且当n充分大时(n≥30)，其图形与标准正态分布的概率密度函数的图形非常接近.但对于较小的n，t分布与N(0,1)分布相差很大.由定义可见，3、F分布则称统计量服从自由度为n1及n2的F分布，n1称为第一自由度，~F(n2,n1)定义:设X与Y相互独立，n2称为第二自由度，记作F~F

5、(n1,n2).若X~F(n1,n2)，则X的概率密度为注意：统计的三大分布的定义、基本性质在后面的学习中经常用到，要牢记！！4、上α分位点定义：设随机变量X的概率密度为f(x),对于任意给定的α(0<α<1),若存在实数xα,使得：则称点xα为该概率分布的上α分位点正态分布的上α分位点对标准正态分布变量Z～N(0,1)和给定的，上分位数是由：P{Z≥z}=即P{Z

6、x)xzαo说明：1）除标准正态分布外，分布、t分布、F分布的上分位点都有表可查.2）对于分布，当n充分大时（n>45），其中Zα是标准正态分布的上α分位点3）对于t分布a)由其对称性，有：b)当n充分大时（n>45），4）对于F分布，有：例2.查表求下列值：解：，例3.设总体X和Y相互独立，同服从分布，而X1，X2，…,X9和Y1，Y2，…,Y9的分布.分别是来自X和Y的简单随机样本，求统计量解：X1，X2，…,X15是来自X的简单随机样本，求例4.设总体X服从分布，而的分布.统计量解：例5设总体为总体

7、X的样本,试确定常数c,使解：故因此分布.cY服从当总体为正态分布时，教材上给出了几个重要的抽样分布定理.这里我们不加证明地叙述.三、抽样分布定理定理1设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本，则有（1）样本均值（2）样本均值与样本方差相互独立。（3）随机变量定理2设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有定理3(两个总体样本均值差的分布)且X与Y独立,分别是这两个样本的样本均值,自Y的样本,分别是这两个样本的样本方差,则有是取自X的样本,X1,X2,…,Y1,Y2,…,是

8、取定理4(两个总体样本方差比的分布)且X与Y独立,分别是这两个样本的样本均值，Y的样本,分别是这两个样本的样本方差,则有X1,X2,…,是取自X的样本,Y1,Y2,…,是取自上述4个抽样分布定理很重要，要牢固掌握.的概率不小于90%,则样本容量至少取多少?例6.设,为使样本均值大于70的概率解：设样本容量为n,则令得即所以至少取例7.从正态总体中，抽取了n=20的样本解：(1)即故(2)故3掌握给出的四个抽样分布