《统计量与抽样分布》PPT课件.ppt

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第四章统计量与抽样分布 4.1总体和样本的统计分布1.总体分布和样本性质总体——研究对象全体元素组成的集合所研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体,它是一个随机变量(或多维随机变量).记为X. 即总体的每个数量指标,可看作随机变量X的某个取值.用表示.样本——从总体中抽取的部分个体.称为总体X的一个容量为n的样本观测值,或称样本的一个实现.用表示,n为样本容量.样本空间——样本所有可能取值的集合. 若总体X的样本满足:一般,对有限总体,放回抽样所得到的样本为简单随机样本,但使用不方便,常用不放回抽样代替.(1)与X有相同的分布(2)相互独立则称为简单随机样本.简单随机样本 设总体X的分布函数为F(x),则样本若总体X的密d.f.为f(x),则样本的联合d.f.为的联合分布函数为 例如设某批产品共有N个,其中的次品数为M,其次品率为若p是未知的,则可用抽样方法来估计它.X服从参数为p的0-1分布,可用如下表示方法:从这批产品中任取一个产品,用随机变量X来描述它是否是次品: 设有放回地抽取一个容量为n的样本的联合分布为其样本值为样本空间为 设是取自总体X的一个样本,为一实值连续函数,且不含有未知参数,则称随机变量为统计量.若是一个样本值,称的一个样本值为统计量定义4.2统计量 例是未知参数,若,已知,则为统计量是一样本,是统计量,其中则但不是统计量. 常用的统计量为样本均值为样本方差为样本标准差设是来自总体X的容量为n的样本,称统计量 为样本的k阶原点矩为样本的k阶中心矩例如 顺序统计量设为样本,为样本值,且当取值为时,定义r.v.则称统计量为顺序统计量.其中,称为极差 独立,与总体同分布独立,与同分布由辛钦大数定律知样本矩的特性都存在设为来自总体的样本,总体阶矩其中为连续函数 设总体的均值和方差样本均值与样本方差的数字特征是来自总体的样本，则都存在. 样本均值与样本方差的实际意义是全体实验数据的平均值是数据的中心反映了实验数据与数据中心的偏离程度，反映了全体实验数据的离散程度 4.3抽样分布样本统计量包含了各种有用信息集中、提炼数据中包含的有用信息它们是随机变量,必须确定其分布，称为抽样分布来自标准正态总体的抽样分布主要讨论：来自一般正态总体的抽样分布分布分布分布五个抽样分布定理 随着自由度的增加曲线重心向右下方移动(一)-分布是来自总体设的样本,令称服从自由度为的分布，记为分布的密度函数及图形伽马函数分布的可加性且相互独立,则设推广：且设相互独立,则,于是理解为可独立变化的r.v个数则设取个独立同分布的则与同分布分布的数学期望与方差 随着自由度的增加曲线越来越趋近(二)分布且设相互独立,令称服从自由度为的分布，记为分布的密度函数及图形易知：利用伽马函数的斯特林公式即故当较大时,可认为英国统计学家兼化学家戈塞特(GossetWS1876-1937)于1908年用笔名Student发表了关于t分布的论文,这是一篇在统计学发展史上划时代的文章,它创立了小样本代替大样本的方法，开创了现代统计学的新纪元.Gosset,Student的最后一个字母都是t,故取名为“t分布”,又称为“学生氏分布”.-分布是怎样产生的 (三)分布且设相互独立,令称服从自由度为的分布，记为分布的密度函数及图形分布的重要性质若则分布是为了纪念著名统计学家费歇耳(R.A.Fisher1890-1962)而命名 2.抽样分布定理最重要的总体：问题question如何由样本推断分析：对的推断是通过构造统计量实现的如何构造“好”的统计量服从什么分布？统计推断中最重要的结论：五个抽样分布定理 仍服从正态分布,且定理一的样设是来自总体本,则独立同分布由正态分布的性质知，线性组合 定理二的样本，设是总体分别为样本均值和样本方差，则有相互独立分析(证略) 定理三的样本，设是总体分别为样本均值和样本方差，则有由定理一、定理二有且与独立，由分布的定义有结果分析即“平均”说来与的差别不大,故可用“代替”两个未知参数一个未知参数 定理四的样本；设是总体的样本,且两样本相互独立,是总体两样本均值和样本方差分别为则由定理二，有因两样本独立，故独立 定理五的样本；设是总体的样本,且两样本相互独立,是总体两样本均值和样本方差分别为则其中,且相互独立又由的独立性及分布的可加性有由两样本的独立性及分布的定义有 面积为则称为分布密度的上分位点上分位点设若存在常数满足的上分位点记为 则称为分布密度的上分位点设若存在常数满足的上分位点记为查标准正态分布表,可求得上分位点 则称为分布密度的上分位点设若存在常数满足的上分位点记为查t分布表,可求得上分位点 则称为分布密度的上分位点设若存在常数满足的上分位点记为查分布表,可求得若则故上分位点