1.3.1函数单调性的概念（人教版必修1）

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1、函数的基本性质单调性与最大(小)值德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8-9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.123tyo20406080100情景引入问题1:当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？问题2:“艾

2、宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？tyo20406080100123问题搭台探究立骨问题3:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？问题4:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？xyoyxoxyomnxyomn[m，n]上，函数y随x的增大而减小在[m，n]上，函数y随x的增大而增大——单调递增性——单调递减性通俗定义问题5:能否根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?问题搭台探究立骨函数f(x)在给定区间上为增函

3、数。Oxy问题6：如何用x与f(x)来描述上升的图象？问题7：如何用x与f(x)来描述下降的图象？函数f(x)在给定区间上为减函数。Oxy问题搭台探究立骨如果对于属于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数.增函数与减函数定义说明：函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，就称函数y=f(x)在区间D上具有单调性，D称为函数的单调区间。如果对于属于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都

4、有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.函数单调性的理解1.如果一个函数在某个区间上是增函数或减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性，证明函数的单调性，必须严格按照单调性的定义证明．2.定义中的x1、x2有三个特征：(1)“任意”性，不能由两个特殊值代替；(2)二者有大小，通常规定x1

5、部性质;5.有的函数不具备单调性，如函数它的定义域为R，但不具备单调性6.单调区间，必须是一个区间，不能是两个区间的并，如不能写成函数在是减函数，而只能写成在上是减函数7.区间端点的写法，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题．因此写单调区间时，如果端点在定义域内，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点．-212345-23-3-4-5-1-112例题赏析例1如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f

6、(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.解：函数f(x)的单调区间有[-5,-2)，[-2,1)，[1,3)，[3,5],其中f(x)在区间[-5,-2)，[1,3)上是减函数，在区间[-2,1)，[3,5]上是增函数.作图是发现函数单调性的方法之一.例2、物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1

7、10,V2-V1>0又k>0,于是所以，函数是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.取值变形作差结论定号证明函数单调性的步骤：第一步：取值.即任取区间内的两个值，且x10)yxoy=kx+b(k<0)讨论一次函数的单调性结论：反比例函数的单调性证

8、：在区间（－∞，0）上任意取两个值，且，∵∴即∴例3证明：函数　　　在区间（－∞，0）上是单调减函数．∴在区间（－∞，0）上是单调减函数．取值作差变形定号判断则二次函数单调性（3）单调性的理论证明（1）函数单调性的概念；（2）判断函数单调区间的常用方法方法二：通过定义去判断。方法一：分析函数的图象。小结