H型群上的Hopf型引理、强极大值原理和Liouville型定理

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1、西北工业大学硕士学位论文第一章前言'1.1引言在1967年，Hbrmander发表了他的经典文章“Hypoellipticsecondorderdiferentialequations"[1]后，由非交换向量场构成的线性及拟线性偏微分方程的研究受到了国际数学界的广泛关注，并取得了迅猛的发展。1970年，Stein在【2)中提出了把偏微分算子的研究与齐次群分析联系起来的思想，引起了数学界的重视，并获得了许多重要的结果.众所周知，与满足有限秩条件的光滑向量场相联系的无穷小量群(TheInfinitesi

2、malGroups)是非交换幂零Lie群，它们的Lie代数允许分层。这些群在亚椭圆偏微分方程、非交换调和分析、次Riemann几何和CR几何函数理论的研究中占据着中心位置。Heisenberg群是分层幂零Lie群中最简单的非交换2步群。由于其结构直接、明确，迄今己经得到了它上面大量的研究成果。与Heisenberg群类似，Heisenberg型群，即H型群，是由Kaplan于1980年首先在【3)中引进的，后来发现实际上存在着大量的H型群，它是Heisenberg群一个直接和重要的推广。但因为它的中

3、心是任意维数的，它的几何变得更加复杂。本文将在Garofalo和Vassilev等人的工作基础上对H型群上的非线性问题展开研究。;1.2H型群我们首先从Carnot群开始介绍。设G是一个r(r为正整数)步Carnot群，宫=。;二，代是G的Lie代数S的一个分层，[V=价]二K二:,1<_jG是一个整体解析微分同胚〔见[4])。每一个Carnot群G都自然地具有一族各向异性伸缩，对g

4、=exp(}(g))=exp[}i(g)+}z(g)+二+}.(g))，8,(g)=exp-4,,-exp'(g)，geG其中点:G-->叱,1_

5、量场构成的线性及拟线性偏微分方程的研究受到了国际数学界的广泛关注，并取得了迅猛的发展。1970年，Stein在【2)中提出了把偏微分算子的研究与齐次群分析联系起来的思想，引起了数学界的重视，并获得了许多重要的结果.众所周知，与满足有限秩条件的光滑向量场相联系的无穷小量群(TheInfinitesimalGroups)是非交换幂零Lie群，它们的Lie代数允许分层。这些群在亚椭圆偏微分方程、非交换调和分析、次Riemann几何和CR几何函数理论的研究中占据着中心位置。Heisenberg群是分层幂零L

6、ie群中最简单的非交换2步群。由于其结构直接、明确，迄今己经得到了它上面大量的研究成果。与Heisenberg群类似，Heisenberg型群，即H型群，是由Kaplan于1980年首先在【3)中引进的，后来发现实际上存在着大量的H型群，它是Heisenberg群一个直接和重要的推广。但因为它的中心是任意维数的，它的几何变得更加复杂。本文将在Garofalo和Vassilev等人的工作基础上对H型群上的非线性问题展开研究。;1.2H型群我们首先从Carnot群开始介绍。设G是一个r(r为正整数)步C

7、arnot群，宫=。;二，代是G的Lie代数S的一个分层，[V=价]二K二:,1<_jG是一个整体解析微分同胚〔见[4])。每一个Carnot群G都自然地具有一族各向异性伸缩，对g=exp(}(g))=exp[}i(g)+}z(g)+二+}.(g))，8,(g)=exp-4,,-exp'(g)，geG其中点:G-->叱,1_

8、G的拓扑维数为N=艺dim代，而关于伸缩{151)"。的齐次维数是Q=艺jdim1}。用dG西北工业大学硕士学位论文表示G上的一个固定的Haar测度。因为dG(Sz(}))二AI'dG，所以Q在Carnot群分析中扮演着维数的角色。设X={X,，一，X=,}是V,的一组标准正交基y=(y,...,Y}是Vz的一组标准正交基。与基X相联系的次Laplace算子是G上的二阶偏微分算子，艺XL=-7',X*X,月(1.2.1)1=1(在Camot群上，彩=-XI，见[5])