H型群上的Hardy不等式、Pohozaev恒等式和唯一延拓性

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1、西北I。业大学硕I‘学位沧文引言近20年来，一般线性偏微分算子的主要研究方向之一是幂零群上平移不变线性偏微分算子类。1967年，H6rmander发表了他的经典文章【1]，提出了著名的有限秩条件，解决了平方和算予中满足此条件的算子的亚椭圆性，从而使得由非交换向量场构成的线性及拟线性偏微分方程的研究受到国际数学界的广泛关注，并得到迅猛发展。1970年，Stein在法国Nice举行的国际数学家大会上提出了一系列关于偏微分算子研究的思想(见【2】)，把偏微分算子的研究与齐次群分析联系了起来，引起了众多数学家的重视，并获得

2、了许多重要的结果。与满足有限秩条件的光滑向量场相联系的无穷小量群(TheInfinitesimalGroups)是非交换幂零Lie群，它们的Lie代数允许分层。这些群在亚椭圆偏微分方程、非交换调和分析、次Riemann几何和CR几何函数理论的研究中占据着中心位置。在分层幂零Lie群中，第一类重要的非交换二步群是Heisenberg群。由于它的结构较为直接、明确，迄今已经得到其上大量的研究成果。第二类重要的非交换二步群是Heisenberg型群，即H型群。Heisenberg型群是Kaplan于1980年首先在[3]

3、中引进的，是Heisenberg群一个直接和重要的推广。但因为它的中心是任意维数的，它的几何更加复杂。本文将在Garofalo等人的工作基础上进一步研究Heisenberg型群上的一些性质。设G是一个r(r为正整数)步Camot群，它的Lie代数g=Ko砭o⋯o¨=o：：．_，且【K，Vi】-r川，』=1⋯，r一1，但[K，一]={o)．给定g上的个内积<·，·>，{V。r：。关于此内积互相正交。设X={Ⅳl，．一，X，)是K的一组标准正交基，m=dimK：Y={一，⋯，K}是％的一组标准正交基k=dim％。指数映

4、射exp：9哼G是一个整体解析微分同胚(见【4])。对掌(g)=善．(g)+．．．+掌，(g)，设g=exp(f(g))=exp(点(g)+f2(g)+．．．+f，(g))，用指数映射定义解析映射善：G斗¨，i=l⋯．，r．对g∈G，投影点在基xl，．．，X。下的坐标记作x=x(g)=(x1(g)，工2(g)，·一，x。(g))=(xI，石2，．．．，X。)∈R⋯，其中x，(g)=，J=1，⋯，m．类似地，投影孝2在基K，⋯，E下的坐标记为Y=y(g)=(y．(g)，y2(g)，·一，yt(g))

5、=(yI，Y2⋯．，Yk)∈R‘，两北T业大学硕士学位论文其中Y，(g)=，f：1，．-，k，与基Ⅳ相联系的次Laplace算子是G上的二阶偏微分算子L=一∑x：x，=∑x；，(1)，，l』=l(在Camot群上，X：=一x，，见[51)，P一次Laplace算子是上，=～∑Ⅳ：(I弛【’‘x，“)2∑x。(I肌r2zju)．(2)，一／=1当P=2时，(2)就是(1)。根据对Lie代数所作的假设，我们立即可以看到，片满足有限秩条件，因此由Hfrmander的定理[1]知，算子上是亚椭圆的。然而，它

6、不再是椭圆的。设G是一个2步Carnot群，具有Lie代数g=Ko呸。考虑线性映射J：K哼End(V1)(其中End(巧)表示巧的自同态半群)：<，(叩)f’，f“>=<睹’，f”】，叩>，口∈K，f’，孝”∈嵋．从，的定义，可得<，(刁)孝，善>=0，77∈％，f∈K．映射．，的代数性质在研究2步Camot群的几何和分析性质时有着重要影响。Kaplan首先认识到了映射，的代数性质和与之相关的次Laplace算子的解析性质之间的重要联系。H型群的定义是Kaplan在【3】中引入的。定义l设G是一个2步Camot群，

7、如果对任意的r／∈％，1口l=1，映射．，(口)：K_n是正交的，则称G是一个Heisenberg型群。简称H型群。定义1蕴含了<，(叩’)f，J(q”)掌>=<叩‘，r／">l善12，刁。，叩”∈％，孝∈K和l‘，(玎)孝1=I叩

8、

9、亭I，77∈％，善∈K．事实上，存在许多H型群。譬如，设G是一个秩为l的单群，1wasawa分解G=／GIN中的幂零部分N就是一个H型群，称为1wasawa群【6】。对任何正整数H，总存在月维中心的H型群，见【3】。当H型群G的中心％的维数等于1时．在同构的意义下，它就是Heisen

10、berg群。H型群在分析和几何中扮演者重要的角色。Ⅳ的一组标准正交基是西北工业大学颤1‘学位论文牛毒+÷缸，上^p毒扩k．棚，也用它来记H型群G上的左不变基向量场。G上的广义梯度记为V￡=(Xl’一，X。)，上的自然伸缩为da(x，y)=(以，名y)，丑>0，(x，y)∈G．(3)伸缩群{以}。。的生成子为z一挚毒+窑：M毒·齐次维数Q=，，2+2k，它在H