多圆盘上的对偶Toeplitz算子

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1、ABSlrRACTalgebraicstructure．Thefollowingshortexactsequenceisestablished：(0)一semff(L。(D”))一Z(L”(D“))一工。(D“)一(0)KeyWords：Bergmanspace，dualToeplitzoperator,pluriharmonic，commute，essentiallycommute，semicommutator,spectrum一Ⅲ一学位论文独创性声明本人声明所里交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含

2、其他人或其他机构已经发表或撰写过的研究成果．其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明并表示了谢意．研究生签名：伽』L日期：少矿．∥．夕学位论文使用授权声明本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意浙江师范大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播论文的全部或部分内容。保密的学位论文在解密后遵守此协议。研究雌轻御矿导师躲寸日期：矽7钎夕浙江师范大学学位论文诚信承诺书我承诺自觉遵守《浙江师范大学研究生学术道德规范管理条例》。我的

3、学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明并详细列出有关文献的名称、作者、年份、刊物名称和出版文献的出版机构、出版地和版次等内容。论文中未注明的内容为本人的研究成果。如有违反，本人接受处罚并承担一切责任。承诺人(研究生)：懒彦指导教厩子簏、一．绩论(一)、研究背景概述一、绪论在上世纪二、三十年代，一般的线性算子理论及它们生成的算子代数有很大发展．同时伴随着它们在量子物理．动力系统，概率论等学科中的深入应用，算子理论及代数成为一个非常活跃的研究方向．Toeplitz算子是现代算子理论中最重要的特殊算子类之一．一方面．它为～般的算子理论的研究提供了

4、模型．同时，它在算子理论，函数论，指标理论及算子代数方面起着纽带的作用．比如，著名的不变子空间问题可以转化成Bergnmn空间上算子^疋不变子空间格的饱和性质的研究．对于Toeplitz算子最初的研究开始于ToeplitzO．【l】对Toeplitz矩阵的研究'所谓Toeplilz矩阵是指在对角线上为常值的单向无穷矩阵．随后的几十年中，HamnanP和WinmerA．【2】【3】在这方面做了很多工作．到1964年，美国数学家BrownA．和HalmosP．【4】利用算子语言给出了经典Hardy空问上Toeplitz算子的定义。并系统地研究了它的代数性质．关于这方面的其他经

5、典结果可见【5】．众所周知，与Toeplitz算子密切相关的一类算子是Hankel算子．对Hanlel算子的研究也是起源于Hanlel矩阵，所谓Hanlel矩阵是指在反对角线上为常值的单向无穷矩阵．对Hardy空间上Hanlel算子的有界性和紧性有非常整齐的刻画：当且仅当符号为有界可测函数和连续函数．在I-Ianlel算子理论中的一个重要定理是Nehafi定理：若日是Hardy空间上的一个有界Hanlel算子。那么存在IP∈L。(T)，使得H=上0．并且0^00=II妒lloo=dist(I，o，Ⅳ。)．此定理有着广泛的应用．比如在日。o控制理论中对于模型匹配问题，就是由

6、Nehari定理将其转化为相应的Hanlel算子的范数估计．关于Hanlel算子的其它结果可见【6】．上世纪末以来，对经典Hardy空间上的Toeplitz算子，Hankel算子有了各种推广．一方面是从函数空间所在域的推广，比如从单位圆盘到单位球，多圆盘，拟凸域等．另一方面是测度的推广和改变，比如加权kbcsglle测度．从Hardy空问的线测度到Bergman空间的面积测度．对于Toeplitz算子的各种形式推广，一个自然的问题是经典的Toeplitz算子理论能否成立．许多学者的工作表明，在类似推广的同时，存在很多差异．我们将在本节的第三部分给予部分说明．一，绪论Toe

7、plitz算子还有很多重要问题没有解决．它们的解决不仅依赖于函数论的发展，同时还需要各种代数，拓扑方法的丰富．比如Banaeh代数，口代数，代数拓扑等．(二)、基本概念及符号记C为复平面，T．D分别为c中的单位圆周和单位圆盘．L2(刃表示T上的平方可积函数空间．则Hardy空间日2(T)定义为：H2(T)={fEL2(T)：去Jcr2f，(∥)e枷础=o'几=1，2，⋯}1Berga怕a空间瑶(D)定义为：层(D)=工2(D)nH(D)其中三2(D)表示D上依正规化的面积测度dA平方可积的函数空间，H(D)为D上的解析函数全体