构建小球入盒模型不定方程正整数解组数问题

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1、中学生数学·2009年5月上·第369期(高中)路首都师范大学附属中学(100048)黄洁云岛排列组合这部分教材因其内容的抽象性、二、模型的应用(不定方程整数解的问题)思维的独特性、解题方法的特殊性而成为中学对于一定条件下的不定方程解的个数问题，数学学习中的一个难点．本文通过构建“小球我们同样也可以构造上述模型来加以解决．入盒”模型来解读排列、组合问题，以期能帮助(1)试求不定方程4-+⋯4-z一(读者搭起挖掘知识的内涵与外延的平台，架起从≥／T／>2)正整数解的组数．已知到未知的“桥梁”，打通各个环节的“结点”，分析由模型1即将个相同的

2、小球分装凸现知识的来龙去脉，达到直击目标的目的．到m(≤”)个不同的盒子中，每个盒子中至少一、模型的建立分到1个小球，共有多少种不同的分法?所以模型1将”个相同的小球分装到m(≤共有C种不同的分法．)个不同的盒子中，每个盒子中至少分到1个小(2)若求不定方程+4-⋯+一(球(或每个盒子非空)，共有多少种不同的分法?≥>2)非负整数解的组数．解析把个小球一字排开，中间有一1分析将个相同的小球分装到m(≤个空位，若从中任取一1个空位插上隔板，则n)个不同的盒子中，共有多少种不同的分法?可把这个小球分成m份，每份至少1个小所以共有Cm一1种不同

3、组解．或转化为正整数球，将每个盒子对应取其中1份，恰好满足题意解问题．由于z≥0(i一1、2、⋯、)，所以令的要求，所以共有C种不同的分法．一Y一1，则Y≥1．则原不定方程解的组数与方模型2将”个相同的小球分装到m(忌程Y++⋯+Y一十ITI的正整数解的组数≤，z)个不同的盒子中，每个盒子中至少分到k相同．即共有C—m-l种不同组解．个小球，共有多少种不同的分法?(3)若求不定方程z+z：4-⋯+z一n(解析首先给每个盒子k一1个球，然后将≥走>2)z≥走(i一1、2、⋯、)的解的组数．剩下的一(忌一1)m个小球按上述插隔板的方分析对应于

4、模型2即将个相同的小球法分给m个盒子，于是每个盒子至少能得1个分装到m(km≤)个不同的盒子中，每个盒子小球，共有C-¨种不同分法．中至少分到k个小球，共有多少种不同的分法?寸模型3将个相同的小球分装到编号为所以共有CA-¨一种不同分法．1，2，⋯，的m个不同的盒子中(小球足够(4)若求不定方程+z。+⋯+．27===(多)，每个盒子中的小球的个数不少于它的编≥m>2)Lz≥i(i===1、2、⋯、m)的解的组数．号数，共有多少种不同的分法?分析对应于模型3即将个相同的小球解析首先在后一1个盒子中依次放人分装到编号为1．．2，⋯，m的m个

5、不同的盒子中1，2，⋯，一1个小球，再将剩余的球按上述隔(小球足够多)，每个盒子中的小球的个数不少板的方法分到／T／个盒子中，这样就能满足“每于它的编号数，共有多少种不同的分法?所以个盒内的小球的个数不少于它的编号数”的要共有c一种方法．臻求．于是共有c：一种方法．(责审赵大悌)豢网址：ZXSS．chinajourna1．net．cn●27●电子邮箱：zxss@chinajourna1．net．crl