不定方程x4+y4+Z4=n正整数解的求法

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1、42中学数学研究2009年第12期不定方程4+Y4+Z4=正整数解的求法吉林省白城市教育学院(137000)齐丽娟本文给出的是高次多元不定方程++z=时没有正整数解．这个猜想，当2<<10时此定n(n∈N)正整数解的初等求法．理已经被证明)相矛盾，故当n=C时，方程(2)没文中符号(口，b，c)表示不定方程++4=有正整数解．n(n∈N)，(1)的正整数解，即=0，Y=b，z=引理1：当n／2∈N时，方程(2)有正整数解c(0，b，C∈N)，类似的符号(0，6)表示不定方程(：，n／2n／2、．+Y=凡(∈N)，(2)的正整

2、数解，即=0，Y=定理2：若方程(2)有正整数解(0，b)，且口>b(口，b∈N)．b，则=0满足[]<0≤L河，(3)．要求(1)方程的正整数解，我们首先来研究方证明：当EN时，有：y=，当程(2)的正整数解的求法．定理1若凡是某个正整数的4次方，则方程n／2N，方程(2)的正整数解(0，b)，有b<(2)没有正整数解．<0，进而有6≤LJ，因为口，L都是正整即(口

3、，b，c)为方程+y4=z的正整数解，这与费数，可以令口=L河+1，容易知道L锄+1>，尔马大定理(不定方程+Y=，当>2(∈N)在文[2]结尾作者还举了一个“反例”说明“利0)=0．用巧方法厂(0)=0解出的是。=1；而利用奇函数定练习义解出的却是n=一1．此时再来对比这两种解法孰(1)判断函数-厂()：In(+~／+1)奇偶性是孰非就一目了然了，巧方法隐藏的是一个大错并进行证明．误．”这里我们要指出的是利用巧方法-厂(0)=0的(2)(05年江西卷)若函数，()=loga(+前提条件是奇函数．厂()在原点有定义，因此方法

4、本~／+2a)是奇函数，则口=．身并没有错，关键要看所给的函数是否在原点有定义，这才是问题的症结所在，容易分析文[2]构造的(3)已知)厶一+。是奇函数，求实数。“反例”在原点并没有定义，试分析如下：的取值．例3若凸为常数，且-厂()=lg《+0)是(4)(07年上海卷)已知函数-厂()：+a／x(x、』十，≠0，常数0∈R)．奇函数，求)<0的解集(即文[2]反例)．①当o=2时，解不等式)一一1)>2x，’解析：由一十>0得[(0+2)+Ⅱ](+1)一1；1十②讨论函数I厂()的奇偶性，并说明理由．>0．当Ⅱ=一2时，<

5、一1)的定义域关于原点参考答案(1)奇函数；(2),／~／2；(3)口=不对称，不具奇偶性．当口≠一2时，由)是奇函数一1／2；(4)(亘)0<<1；②当口=0时√^()=(得方程[(+2)x+n](+1)=0两根之和，1+2∈R，且≠0)是偶函数；当0≠0时)是非奇n^，1：一一1=0得。：一1--．·)=lg，显非偶函数；参考文献然)在原点没有定义，用0)=0求解当然得出[1]时伟．巧方法也有小错误[J]．中学数学研究(广州)20o8，(6)．错误的结果．[2]庞新军．巧方法隐藏大错误[J]．中学数学研究(广州)2oo9

6、，注：若函数)是在原点有定义的奇函数，则(5)．2009年第12期中学数学研究43=(L锄+1)>()=n，即0>n，这与(0，≤L锄，(6)．b)是方程(2)的正整数解，即6／,+b=凡相矛盾，故下面给出求不定方程戈+)，4+=(n∈N)正整数解的解法步骤：0>Lj不成立，只有Ⅱ≤Lj，(5)．由(4)，(5)得[万]

7、四次不定方程+Y=n．方程(2)有正整数解(‰，Y。)，(Yo，。)．当所有的。我们规定，根据定理求出的原方程的正整数解，使隹N，且隹N时，则方程(2)没有正叫做原方程的初解．若(口，6，c)是原方程的初解，则整数解．方程的正整数解为(D，b，C)，(口，C，b)，(b，C，口)，(b，．证明：略．0，c)，(c，a，6)，(C，b，口)共6组．引理2：当∈N时，方程(1)有正整数解本文计算，，(∈N)，应用了计算器，(，，)．避免了取对数计算的麻烦．定理4：若方程(1)有不全等的正整数解(口，b，例1求方程+)，4+=78

8、7的正整数解．c)，则d=max{0，6，c}满足[一