江苏省普通高等学校2017届高三数学招生考试模拟测试附加题十五

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1、江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A.(选修4-1：几何证明选讲)如图，AB是圆O的直径，C为圆O外一点，且AB＝AC，BC交圆O于点D，过D作圆O的切线交AC于点E.求证：DE⊥AC.B.(选修4-2：矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy中，设点A(－1，2)在矩阵M＝对应的变换作用下得到点A′，将点B(3，4)

2、绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．C.(选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy中，已知直线(t为参数)与曲线(θ为参数)相交于A，B两点，求线段AB的长．4D.(选修4-5：不等式选讲)已知a，b，c∈R，4a2＋b2＋2c2＝4，求2a＋b＋c的最大值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22.一个摸球游戏，规划如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加

3、者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励(k∈N*)，且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．(1)求概率P(X＝0)的值；(2)为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．(注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！)23.设S4k＝a1＋a2＋…＋a4k(k∈N*)，其中ai∈{0，1}(i＝1，2，…，4k)．当S4k除以4的余数是b(b＝0，1，2，3)时，数列a

4、1，a2，…，a4k的个数记为m(b)．(1)当k＝2时，求m(1)的值；(2)求m(3)关于k的表达式，并化简．4(十五)21.A.证明：连结OD，因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.由圆O知OB＝OD，所以∠B＝∠BDO.从而∠BDO＝∠C，所以OD∥AC.(6分)因为DE为圆O的切线，所以DE⊥OD，又OD∥AC，所以DE⊥AC.(10分)B.解：设B′(x，y)，依题意，由＝，得A′(1，2)．(4分)则＝(2，2)，＝(x－1，y－2)，记旋转矩阵N＝，(6分)则＝，即＝，解得所以点B′的坐标为(－1，4)．(10

5、分)C.解：将直线的参数方程化为普通方程，得y＝2x＋1.　①(3分)将曲线的参数方程化为普通方程，得y＝1－2x2(－1≤x≤1)．　②(6分)由①②，得或(8分)所以A(－1，－1)，B(0，1)，从而AB＝＝.(10分)D.解：由柯西不等式，得[12＋12＋]≥(2a＋b＋c)2.(6分)因为4a2＋b2＋2c2＝4，所以(2a＋b＋c)2≤10.所以－≤2a＋b＋c≤.所以2a＋b＋c的最大值为，当且仅当a＝，b＝，c＝时等号成立．(10分)22.解：(1)事件“X＝0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出

6、现1次”，则P(X＝0)＝3××＝.(3分)(2)依题意，X的可能值为k，－1，1，0，4且P(X＝k)＝＝，P(X＝－1)＝＝，P(X＝1)＝3××＝，(6分)结合(1)知，参加游戏者的收益X的数学期望为E(X)＝k×＋(－1)×＋1×＝(元)，(8分)为使收益X的数学期望不小于0元，所以k≥110，即kmin＝110.(10分)23.解：(1)当k＝2时，数列a1，a2，a3，…，a8中有1个1或5个1，其余为0，所以m＝C＋C＝64.(3分)(2)依题意，数列a1，a2，…，a4k中有3个1，或7个1，或11个1，

7、…，或(4k－1)个1，其余为0，所以m(3)＝C＋C＋C＋…＋C.(5分)同理，得m(1)＝C＋C＋C＋…＋C.因为C＝C(i＝3，7，11，…，4k－1)，所以m(1)＝m(3)．又m(1)＋m(3)＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C＝24k－1，所以m(3)＝24k－2＝42k－1.(10分)4