高中数学第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义学案含解析

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1、1．1.3　导数的几何意义导数的几何意义如下图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3，4)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．问题1：割线PPn的斜率kn是什么？提示：割线PPn的斜率kn＝＝.问题2：当点Pn趋近于点P时，割线PPn与过点P的切线PT有什么关系？提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于过点P的切线PT.问题3：当Pn无限趋近于点P时，kn与切线PT的斜率k有什么关系？提示：kn无限趋近于切线PT的斜率k.问题4：如何求得过点P的切线PT的斜率？提示

2、：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝＝f′(x0)．导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)＝.导数与函数图象升降的关系若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)＞0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若f′(x0)＜0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的．导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢.10导函数对于函数f(x)＝－x2＋2.问题1：如

3、何求f′(x0)?提示：f′(x0)＝li＝li(－2x0－Δx)＝－2x0.问题2：若x0是一变量x，f′(x)是常量吗？提示：f′(x)＝－2x，说明f′(x)不是常量，而是关于x的函数．导函数的定义对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝.f′(x0)与f′(x)的异同区别联系f′(x0)f′(x0)是具体的值，是数值在x＝x0处的导

4、数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f′(x)f′(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数利用导数定义求函数的导数　利用导数的定义求下列函数的导数．(1)y＝－3x2＋2x－1；(2)y＝＋a(a为常数)．　(1)∵Δy＝－3(x＋Δx)2＋2(x＋Δx)－1－(－3x2＋2x－1)＝(2－6x)Δx－3(Δx)2，∴＝＝2－6x－3Δx，10∴y′＝li＝li(2－6x－3Δx

5、)＝2－6x.(2)∵Δy＝＋a－－a＝，∴＝＝，∴li＝li＝－，即y′＝－.求函数y＝f(x)的导数的步骤(1)求Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；(2)求＝；(3)计算f′(x)＝li.利用导数的定义求函数f(x)＝x3＋x－2的导数f′(x)，并利用f′(x)求f′(－1)，f′(1)．解：利用导数的定义，得f′(x)＝li＝li＝li＝3x2＋1，∴f′(x)＝3x2＋1，则f′(－1)＝4，f′(1)＝4.求曲线的切线方程　　　已知曲线y＝x3及其上一点P.(1)求点P处切线的斜率；(2

6、)写出点P处的切线方程．　(1)∵y＝x3，10∴y′＝li＝li＝li＝li＝x2，∴y′

7、x＝2＝22＝4，∴点P处切线的斜率为4.(2)由(1)知，点P处切线斜率为4，且点P的坐标为，∴在点P处的切线方程是y－＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤(1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(2)写出切线方程，即y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为，此时所求的切线平行于y轴，所以直接得切

8、线方程为x＝x0.求曲线y＝在点处的切线的斜率．解：因为y′＝li＝li＝li＝－，所以曲线在点的切线的斜率为k＝y′

9、x＝＝－4.求切点坐标　若曲线y＝x2＋6在点P处的切线垂直于直线2x－y＋5＝0，求点P的坐标及切线方程．　设切点P的坐标为(x0，y0)，10因为f′(x0)＝li＝li＝li(2x0＋Δx)＝2x0，所以2x0·2＝－1，解得x0＝－，所以y0＝x＋6＝，故点P的坐标为，切线方程为y－＝－，即8x＋16y－95＝0.根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0)

10、；(2)求导函数f′(x)；(3)求切线的斜率f′(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；(5)由点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标．曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，则切线方程为(　　)A．y＝9x　　　　　B．y＝9x－26C．y＝9x＋26D．y＝9x＋6或y＝9x－26解析：选D　＝＝＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x－6x0.所以f′(x0)＝li＝3x－6x0，于是3x－6x0＝