高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义学案(含解析)新人教A版选修.doc

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1、1．1.3　导数的几何意义[学习目标]1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系．2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．[知识链接]　如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？答　设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝.当点B沿曲线趋近于点A时，

2、割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝.[预习导引]1．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．函数的导函数当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′

3、(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝.要点一　过曲线上一点的切线方程例1　若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值．解　∵y＝x3＋3ax.∴y′＝＝＝[3x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]＝3x2＋3a.设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，结合已知条件，得解得∴a＝1－.规律方法　一般地，设曲线C是函数y＝f(x)的图象，P(x0，y0)是曲线C上的定点，由导数的几何意义知k＝＝，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线

4、方程．跟踪演练1　求曲线y＝在点处的切线方程．解　因为＝＝＝－.所以这条曲线在点处的切线斜率为－，由直线的点斜式方程可得切线方程为y－＝－(x－2)，即x＋4y－4＝0.要点二　求过曲线外一点的切线方程例2　已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．解　y′＝＝＝(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，

5、则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x－7代入上式，得9－(2x－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.规律方法　若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．跟踪演练2　求过点A(2,0)且与曲线y＝相切的直线方程．解　易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由y′

6、

7、x＝x0＝＝－，得所求直线方程为y－y0＝－(x－x0)．由点(2,0)在直线上，得xy0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1，所求直线方程为x＋y－2＝0.要点三　求切点坐标例3　在曲线y＝x2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)与x轴成135°的倾斜角．解　f′(x)＝＝＝2x，设P(x0，y0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)是满足条件的点．

8、(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，所以2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，即P是满足条件的点．(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1.即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，即P是满足条件的点．规律方法　解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等．跟踪演练3　已知抛物线y＝2x2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)抛物线上哪一点的

9、切线垂直于直线x＋8y－3＝0?解　设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于零时，无限趋近于4x0.即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4