逻辑函数及其简化

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1、第2章逻辑函数及其简化2.1逻辑代数2.2逻辑函数的简化逻辑代数逻辑代数是英国数学家乔治.布尔（Geroge.Boole）于1849年首先进行系统论述的，也称布尔代数；由于被用在开关电路的分析和设计上，所以又称开关代数。逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1。0和1并不表示数值的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。功能描述方法有：1）真值表：即将自变量和因变量（输入变量和输出变量）的所有组合对应的值全部列出来形成的表格。2）逻辑符号：用规定的图形符号来表示。逻辑运算：两个表示不同逻辑状态的二进制数码之间按照某种因果关系进行的

2、运算。一、概述二、基本逻辑运算1.与运算（逻辑乘）（AND）只有决定事件结果的全部条件同时具备时，结果才发生。ABYABY断开断开不亮断开闭合不亮闭合断开不亮闭合闭合灯亮与运算功能表1表示开关闭合，灯亮0表示开关断开，灯不亮ABY000010100111与运算真值表与运算符，也有用“∧”、“∩”、“&”表示与运算表达式Y=A·B=AB与逻辑功能口诀：有“0”出“0”；全“1”出“1”。与门逻辑符号&AYBYABAYB2.或运算（逻辑加）（OR）决定事件结果的诸条件中只要有任何一个满足，结果就会发生。BYAABY断开断开不亮断开闭合灯亮闭合断开灯亮闭合闭合灯亮或运算功能表

3、1表示开关闭合，灯亮0表示开关断开，灯不亮或运算符，也可用“∨”、“∪”表示或逻辑功能口诀：有“1”出“1”；全“0”出“0”。ABY000011101111或运算真值表或运算表达式Y=A+B或门逻辑符号≥1ABYYAB+ABY3.非运算（逻辑反）（NOT）只要条件具备了，结果就不会发生；而条件不具备时，结果一定发生。AYAY断开灯亮闭合不亮非运算功能表1表示开关闭合，灯亮0表示开关断开，灯不亮“－”非逻辑运算符AY0110非运算真值表非运算表达式Y=A非门逻辑符号1AYYAAY三、复合逻辑运算1.与非运算（NAND）ABY001011101110与非逻辑真值表与非逻辑

4、表达式与非逻辑功能口诀：有“0”出“1”；全“1”出“0”。&AYBYAB与非门逻辑符号AYB或非逻辑功能口诀：有“1”出“0”；全“0”出“1”。ABY001010100110或非逻辑真值表2.或非运算（NOR）或非逻辑表达式或非门逻辑符号≥1ABYYAB+ABY与或非门逻辑符号3.与或非运算（AND-OR-NOT）ABCDYYDCAB≥1&与或非逻辑表达式ABCDY001010100110与或非逻辑真值表YDCAB+异或逻辑功能口诀：同为“0”；异为“1”。4.异或运算（XOR）ABY000011101110异或逻辑真值表异或逻辑表达式异或门逻辑符号YAB=1AYB

5、AYB⊕同或逻辑功能口诀：同为“1”；异为“0”。5.同或运算（XNOR）ABY001010100111同或逻辑真值表同或逻辑表达式⊙异或与同或互为反运算：⊙⊙同或门逻辑符号=1AYBYABA⊙YB逻辑代数的基本定律和规则一、逻辑代数的基本定律0-1律重叠律互补律还原律分配律结合律交换律反演律吸收律冗余律在两个乘积项中，若有一个变量是互反的，那么由这两个乘积项中的其它变量组成的乘积项就是多余的，可以消去。公式可推广：求证:A+BC=(A+B)(A+C)证明:右边=AA+AB+AC+BC;分配律=A+A(B+C)+BC;分配律,重叠律=A(1+B+C)+BC;分配律=A•

6、1+BC;0-1律=A+BC;0-1律=左边证明:右边=AA+AB+AC+BC;分配律=A(A+B+C)+BC;分配律=A+BC;吸收律例：用真值表证明反演律000101101111000110010101000证明:=AB+AC+ABC+ABC=AB+AC+(A+A)BC证明:左边=AB+AC+BC=AB+AC=AB(1+C)+AC(1+B)例：证明冗余律成立；；分配律；分配律；0-1律=右边练习：证明成立。证明:二、逻辑代数的基本规则1.代入规则：任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立。例：AB=A+BB

7、C替代B得由此反演律能推广到n个变量：利用反演律2.反演规则：对于任意一个逻辑函数式F，做如下处理：①运算符“.”与“+”互换,“”与“⊙”互换;②常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；③原变量换成反变量，反变量换成原变量。那么得到的新函数式称为原函数式F的反函数式。注意：Δ遵守“括号、乘、加”（即括号－与－或）的运算优先次序。必要时适当地加入括号。非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换将非号去掉，而非号下的函数式保留不变Δ不属于单个变量上的非号处理两种办法：法1：利用反演规则直接得到，求。例：法2：利用反演律3.对偶规则：对