《函数的极值和最值》PPT课件

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1、第三章导数的应用3.3函数的极值和最值1一、函数的极值及其求法1.定义：设在点的某一邻域内的有定义。如果对于这邻域内异于的恒有(1)则称为的极大值.--极大值点(2)则称为的极小值.--极小值点3.3函数的极值最值2极值极值点极大值点极小值点极大值极小值3.3函数的极值最值3注1极值不一定是最值.注2函数的极大值和极小值是局部性概念，极小值不一定比极大值小．极值点处的切线平行于轴,但曲线上有水平切线的点,不一定取得极值.如：3.3函数的极值最值42.驻点:使成立的点定理设函数在点处有导数,且在处取得极值,那么,这函数在点的导数可导函数的极值点一定是驻点.3.3函数的极值最值5注1连续

2、但不可导的点也可能是极值点注2驻点不一定极值点3.3函数的极值最值63.极值的第一种充分条件设函数在点的一个邻域内可导,(1)如果当取左侧邻近的值时,当取右侧邻近的值时,那么,在点处取得极大值.+_(2)如果当取左侧邻近的值时,当取右侧邻近的值时,那么,在点处取得极小值.+_3.3函数的极值最值7求函数的极值及增减区间的步骤：（1）求函数的定义区间；（2）求出函数的所有驻点及不可导点；（4）写出结论。（3）上述点将f(x)的定义区间分成单调区间，列表讨论；3.3函数的极值最值8++_极大值极小值例1求的极值.解定义域为3.3函数的极值最值9例2求的极值.解定义域为+_极大值使无意义的

3、点3.3函数的极值最值10例3求的极值.解定义域为得使无意义的点++_极大值极小值3.3函数的极值最值11例4求函数函数的定义区间解驻点：不可导点点-1，0，1划分定义区间，列表讨论。单减区间：单增区间：极小值；极大值：的极值及增减区间。——++3.3函数的极值最值12第二充分条件设是函数的驻点且如果（或），则是例2求函数的极值．解因为，因为所以极大值为所以极小值为．3.3函数的极值最值的极小（大）值点.13（1）当函数有不可导点时，必须用第一注意：（2）当函数常用第二种充分3.3函数的极值最值充分条件求极值；的计算不复杂时，通条件求极值。满足定理3的条件且14练习1.如果函数在点的

4、某邻域内处处可微,且则函数必在点处取得极值.2.如果函数在区间内仅有一个驻点,则该点一定是函数的极值点.3.设分别是函数的极大值和极小值,则必有4.如果函数在点处取得极值,则曲线在点处必有平行于轴的切线.是非题:15函数的最值在驻点及端点处产生．二、最值16最值判别法：条件：在上连续，且至多在有限个点处导数为０．方法：(1)在内的驻点为(2)求驻点及端点的函数值(3)比较驻点及端点的函数值，即得最大值和最小值．3.3函数的极值最值17例1求在上的最大值和最小值．解(1)令(2)(3)最大值最大值3.3函数的极值最值18例2铁路线上ＡＢ段的距离为100km．工厂Ｃ距Ａ处为20km，ＡＣ

5、垂直于ＡＢ．为了运输需要，要在ＡＢ上线上选定一点Ｄ向工厂修筑一条公路．已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3:5．为了使货物从供应站Ｂ运到工厂Ｃ的运费最省，问Ｄ点应选在何处？ＡＢ100kmC20kmD铁路运费／km:公路运费／km=3:5x3.3函数的极值最值19得km所以当ＡＤ＝15km时，总运费最少．3.3函数的极值最值20例3甲船以20海里／小时的速度向东航行，正午时其正北面82海里处有乙船正以16海里／小时的速度向正南航行．问两船何时距离最近？ＮＳＷＥ设两船经过t小时距离最近．甲乙令得小时3.3函数的极值最值21在实际问题中，往往根据问题的实际意义就可断定函

6、数f(x)必有最大值或最小值．如果函数在定义区间内有只有一个驻点，x0则不必讨论f(x0)是不是极值，就可断定函数f(x0)是最大值或最小值．3.3函数的极值最值22接受能力与讲授时间的关系通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现接受能力（即学生掌握一个概念的能力）依赖于在概念引入之前老师提出和描述问题所用时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，但随着时间的延长，学生的注意力开始分散．分析结果表明，学生掌握概念的能力由下式给出：其中是接受能力的一种度量，是提出概念所用时间（单位：min）．3.3函数的极值最值23问题(1)x为何值时，学生接受能力增强或降低？(2)第十分钟时，学生的兴趣是增

7、长还是注意力下降？(3)最难的概念应该在何时讲授？(4)一个概念需要55的接受能力，它适于对这组学生讲授吗？3.3函数的极值最值24解令得+—所以当提出概念所用的时间小于13分钟，接受能力增强；当提出概念所用的时间大于13分钟时，接受能力降低。(1)x为何值时，学生接受能力增强或降低？3.3函数的极值最值25单调上升，学生的兴趣在增长。在时，取极大值．所以最难的概念应该提出问题后的13分钟讲授．因为这个概念需要55的接受能力，这个概念需要55的接受能力，所