《叶双曲面》PPT课件

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1、§4.5双曲面1.单叶双曲面定义4.5.1在直角坐标系下，方程（4.5-1）所表示的曲面叫做单叶双曲面，方程（4.5-1）叫做单叶双曲面的标准方程，其中是任意的正常数.现在我们从方程(4.4-1)出发来讨论椭球面的一些最简单的图形性质.单叶双曲面与z轴不相交，与x轴与y轴分别交于点这四点叫做单叶双曲面的顶点.因为方程仅含有坐标的平方项，可见当满足方程时，点也一定关于三坐标平面，三坐标轴及坐标原点都对称.满足，其中正负号可任意选取，所以单叶双曲面（1）对称性（2）顶点1.单叶双曲面关于坐标原点、各坐标面、坐标轴对称zyx0MNz(x,y,z)单叶双曲面与x和y坐标轴的交点分别为这

2、四个点叫做单叶双曲面的顶点与z轴没有交点下面继续讨论一般单叶双曲面的形状特点.对称性已经讨论利用平行截割法即平行平面的截口来研究曲面图形的方法.xyzO如果用三个坐标平面分别截割曲面，那么所得的截线顺次为yxzo这三个截口叫做主截线（1）（2）（3）面上的椭圆，叫做单叶双曲面的腰椭圆；(2)与(3)分别为面与面上的双曲线，这两条双曲线有着共同的虚轴与虚轴长(1)(2)(3)yxzo当我们用一组平行平面来截割单叶双曲面(4.5-1)，便得到椭圆（4）Z=hZ=h它的两半轴分别是yxzo两轴的端点分别为容易知道这两对端点分别在主双曲线(2)与(3)上.(2)(3)yxzo单叶双曲面

3、可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生的，这个椭圆在变动中这样，保持所在的平面与面平行，且两对顶点分别沿着两个定双曲线(2)与(3)滑动单叶双曲面yxzo当我们用一组平行平面来截割单叶双曲面便得到椭圆如果用平行于的平面来截割单叶双曲面，那么截线为？先看方程是什么如果用平行于的平面来截割单叶双曲面(4.5-1)，那么截线的方程为：（2）当时，截线(2)为双曲线，轴，实半轴长为它的实轴平行于虚轴平行于轴，虚半轴长为且双曲线(2)的顶点？轴，实半轴长为虚轴平行于轴，虚半轴长为且双曲线(2)的顶点在腰椭圆(1)上（2）yxzo顶点在腰椭圆上yxz当时，截线仍为双曲线，但它的

4、实轴平行于z轴，实半轴长为虚半轴平行于x轴，虚半轴长为而且它的顶点在主双曲线上.yxzo当时，截线仍为双曲线，但它的实轴平行于z轴，实半轴长为虚半轴平行于x轴，虚半轴长为而且它的顶点在主双曲线上.yxz当时，截线变成或这是两条直线或或当时，截线变成两条直线yxzo或当时，截线变成两条直线yxz如果那么两条直线交于(0,-b,0).如果那么两条直线交于点(0,b,0),yxz(0,b,0)(0,-b,0)如果用平行于的平面来截割单叶双曲面(4.5-1),那么它与用平行于的平面来截割所得结果完全相类似.yx如果用平行于的平面来截割单叶双曲面(4.5-1),那么它与用平行于的平面来截

5、割所得结果完全相类似.yxz在单叶双曲面方程中，如果那么它就成为单叶旋转双曲面(4.3-3).方程与所表示的图形，也都是单叶双曲面.如果那么两条直线交于(-a,0,0).如果那么两条直线交于点(a,0,0),例用一组平行平面，截割单叶双曲面得一族椭圆，求这些椭圆焦点得轨迹。解这一族椭圆的方程为即因为，所以椭圆的长半轴为，短半轴为，从而椭圆焦点的坐标为消去参数得显然这族椭圆焦点的轨迹是一条在坐标面上的双曲线，双曲线的实轴为轴虚轴为轴。思考与练习：第166页.1.4.作业：第166页.3.5.