数学模型与分类讨论

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1、龙口市下丁家中学王全玉数学模型思想所谓数学模型，是指通过抽象和模拟，利用数学语言和方法对所要解决的实际问题进行的一种刻画。一般地，通过建立数学模型来解决实际问题的过程称为数学建模。数学教学要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。教学中加强数学建模的教学，引领学生寻找解题的途径。针对一类问题，给学生一个模式，让学生有据可依，以不变应万变，触类旁通，这样较为符合学生的心理特征，也有利于提高学生解决问题的能力。一、数学模型思想

2、在初中数学中的意义近几年，中考加强了应用题的考察，这些应用题以数学建模为中心，考察学生应用数学的能力。但是学生在应用题中的得分率远低于其它题，原因之一就是学生缺乏数学建模能力和应用数学意识。因此，教师应加强数学建模的教学，提高学生数学建模能力，培养学生应用数学意识和创新意识。二、解答数学模型问题的一般步骤（1）明确实际问题，并熟悉问题的背景；（2）构建数学模型（例如：方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、概率模型、统计模型等）;（3）求解数学问题，获得数学模型的解答；（4）回到实际问题，检验模型，解释结果。实际问题现实原型

3、假设、概括、抽象数学化数学模型用数学知识和方法解决数学问题数学模型的解答检验回到实际问题原始问题的解答获得解决应用数学模型解决问题的过程，大致可用如下框图来表示：三、初中数学建模的过程审题建立数学模型，首先要认真审题。实际问题的题目一般都比较长，涉及的名词、概念较多，因此要耐心细致地读题，深刻分解实际问题的背景，明确建模的目的；弄清问题中的主要已知事项，尽量掌握建模对象的各种信息；挖掘实际问题的内在规律，明确所求结论和对所求结论的限制条件。简化根据实际问题的特征和建模的目的，对问题进行必要简化。抓住主要因素，抛弃次要因素，根据

4、数量关系，联系数学知识和方法，用精确的语言作出假设。抽象将已知条件与所求问题联系起来，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子、图形或表格等形式表达出来，从而建立数学模型。按上述方法建立起来的数学模型，是不是符合实际，理论上、方法上是否达到了优化，在对模型求解、分析以后，通常还要用实际现象、数据等检验模型的合理性。（一）拉水管模型（二）测古塔和测河宽模型（三）平行线+角平分线等腰三角形（四）等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高四、几种常见的几何模型【例题】要在河边上修建一个

5、水泵站，分别向张庄、李村送水,修在什么地方，才能使它到两村距离之和最短。A..B河l∟A1...PP1（一）拉水管模型思路分析：可以把这个实际问题归结为一个数学模型：“已知直线l和在l的同一侧的两点A、B,求作点P，使点P在直线l上并且PA+PB最小.”该问题可以通过“作点A关于直线l的对称点A1，连接BA1与直线l相交于点P,则点P就是所求作的点”使问题得到解决。如图，L是一面镜子，光源A通过镜面反射经过点B，请画出光路图。上图中，L是台球桌案一边，台球A撞击L后，反弹撞击B球，请画出路线图。A..BLA1..P∟∟1.在几

6、何作图中的应用如图，在x轴上有一动点P,使点P到点A（2,1）、B（5,3)的距离之和最小，求（1）点P的坐标（2）求这个最小值。xyOA(2,1)..B(5,3)∟.A1(2,-1).P∟C2.在平面直角坐标系中的应用思路分析：如图，等边△ABC的边长是2，D是BC的中点，在AC上有一动点P使PB+PD最小，求这个最小值。ABC.D∟.D1P.法1：作出点D关于AC的对称点D1，连接AD、AD1由等腰三角形“三线合一”性质可知，ADBC,且∠1=∠2=∠3=300,AD=AD1=∟123所以，∠BAD=90012在Rt△AB

7、D1中BD1=3.在等边三角形中的应用ABC.D∟.D1P.12法2：作出点D关于AC的对称点D1,过D1作D1EBC交BC延长线于E，连接CD1可证∠1=∠2=∠3=600，CD=CD1=1，在Rt△CED1中CE=,D1E=在Rt△BED1中BD1=∟E11123300如图，梯形ABCD中，AB∥CD,∠A=900，P是AD上一动点，使PB+PC值最小，那么点P应满足的条件是（）A.PA=PDB.∠CPD=∠APBC.PC⊥PBD.以上都不对DABC.C1.P123B4.在梯形中的应用∟正方形ABCD的边长为8，点E是BC

8、上一点，CE=2，在BD上有一动点P，使PC+PE最小，求这个最小值。ABCD.E..P8265.在正方形中的应用.已知边长为2的菱形ABCD中，∠DAB=600,E是AB的中点，P为AC上一动点，使PE+PB最小，求这个最小值。BACD.E..P600∟126.在菱形中的应