经济数学作业

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1、1.16练习P(4)第二题(1);;;。(2)证明：因为示性函数只取值和，所以和也只能取值和。若属于无穷多个有无穷多次等于1若属于有限个或者不属于任何有有限次等于1或全部为0综上所述，同理可证1.27练习P(10)第一题若由函数的递推公式：，则总可以把转化到之间，所以函数在的敛散性与它在的敛散性相同。若，则；则所以函数在收敛，即其在收敛。若，则，但是，所以函数在发散。综上，函数在收敛，在发散。下面计算分布的数学期望与方差:所以分布的数学期望是，方差是。P(10)第二题即P(10)第三题(1)所以(1)(3)(4)不会做代数知识补充2.1.4练习P(13)第

2、一题证明：设是的特征值，则，即①若上式的根为则上式可以因式分解为：展开得②比较①⑵两式项的系数，得即第二题证明：设那么则因为每个都能分解出这个因子，所以因为是的特征值，所以，则即是的特征值。第三题与特征多项式之间的关系有两种：当与都为阶方阵时，与有相同的特征多项式，即当与不都是方阵时，例如，，假设，与有相同的特征多项式之间相差倍，即先证，设可逆，则即与有相同的特征多项式。若、都不可逆，对于充分小的，可逆，于是由上面的结果有：上式是关于的多项式，且是的连续函数，所以即得于是得当与都为阶方阵时，与有相同的特征多项式。再证，设，，、都为阶方阵，则根据的结果有：，

3、（其中、分别为阶、阶单位矩阵）所以即与有相同的特征多项式之间相差倍。2.23练习P(16)第一题证明：设是阶是对称矩阵的一个特征值，是属于的特征向量，用分别表示的共轭，那么，由于则有：另外所以但，所以，即为实数所以是对称矩阵的特征值全为实数，证毕。第二题一，二元泰勒公式:设在的某邻域内有直到阶连续偏导，则对内任意一点，存在使得：称为的二次型，为系数。二，二元函数极值的充分条件设为的驻点，于的某邻域上二阶连续可微，记二次型,（即）其中，，则：⑴若是正定的，则是极小值点⑵若是正负定的，则是极大值点⑶若是不定的，则必不是极值点三，多元泰勒公式:设在的某邻域内有直

4、到阶连续偏导，则对内任意一点，存在使得：极值条件也与二元函数的类似，这里不再赘述。第三题一，该组合的方差：令，则即为该组合的方差二，证明由（一）的结果，得非负定，即三，证明P(17)思考题设，为矩阵，不一定对称，则2.2.3练习P(18)第一题设为的样本，是维向量，则的似然函数为令，则即（样本均值）是的极大似然估计。P(19)第二题由上题的结果，则的似然函数为其中为的代数余子式。令则等式两边同乘以，则有（其中为阶单位矩阵）等式两边同乘以得即为的极大似然估计可以推广到为矩阵变量的情形若，则若也是矩阵或者向量的话，则也是矩阵或者向量。第三章概率空间P251.维

5、域：空间上由全体开集产生的域称为上的域。2.证明：设，下证令，则单调性得证。3.证明：设，显然集类中至少包含。,显然集类中至少也包含。以下构造另一个概率：令，则集类不为空集，因为其中至少包含，为上的另一个概率且：则显然有即第四章随机变量与随机向量P33第一题证明：(1)，，有，，所以。(2)，，有，，所以。(3)，，,所以。第二题分布函数密度函数第三题的分布函数：的分布函数：5.7练习1.因为为随机变量，则，。令，则也为随机变量，那么，即。同理。则。2.若如果是上的测度，那么它要满足非负性和完全可加性。(1)(非负性)因为为非负随机变量，，所以。(2)（完

6、全可加性）设