《隐函数有求导法则》PPT课件

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1、一、一个方程的情形二、方程组的情形§8.5隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理1>>>设函数F(xy)在点P(x0y0)的某一邻域内具有连续偏导数F(x0y0)0Fy(x0y0)0则方程F(xy)0在点(x0y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x)它满足条件y0f(x0)并有yxFFdxdy-=.例1验证方程x2y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x),并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值.解设F(x,y)x2y21,Fx

2、2x,Fy2y,F(0,1)0,Fy(0,1)20.隐函数存在定理1:则设函数F(xy)在点P(x0y0)的某一邻域内具有连续偏导数F(x0y0)0Fy(x0y0)0则方程F(xy)0在点(x0y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x)它满足条件y0f(x0).由隐函数存在定理,方程x2y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x).解设F(x,y)x2y21,Fx2x,Fy2y,F(0,1)0,Fy(0,1)20.则由隐函数存在

3、定理,方程x2y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x).提示:由方程F(x,y)0确定的隐函数yf(x)的导数为yxFFdxdy-=.yxFFdxdyyx-=-=,00==xdxdy;例1验证方程x2y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x),并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值.解设F(x,y)x2y21,Fx2x,Fy2y,F(0,1)0,Fy(0,1)20.则由隐函数存在定理,方程x2y210在点(0,1)的某

4、一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x).yxFFdxdyyx-=-=,00==xdxdy;例1验证方程x2y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x),并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值.隐函数存在定理2>>>设函数F(xyz)在点P(x0y0z0)的某一邻域内具有连续的偏导数且F(x0y0z0)0Fz(x0y0z0)0则方程F(xyz)0在点(x0y0z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zf(xy)它满足

5、条件z0f(x0y0)并有令F(xyz)z33xyza3则解:由方程F(x,y,z)0确定的隐函数zf(x,y)的偏导数为例2设z33xyza3求.,思路：解令则整理得整理得整理得二、方程组的情形在一定条件下方程组F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0能确定一对二元函数uu(x,y),vv(x,y).例如,方程xu-yv=0和yuxv=1可以确定两个二元函数事实上,能否根据原方程组求uu(x,y),vv(x,y)的偏导数？22yxyu+=,22yxxv+=.设方程组F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0

6、确定一对具有连续偏导数的二元函数uu(x,y),vv(x,y),则二、方程组的情形在一定条件下方程组F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0能确定一对二元函数uu(x,y),vv(x,y).解当x2y20时,解之得两个方程两边分别对x求偏导,得方程组两个方程两边分别对y求偏导,得方程组当x2y20时,解之得>>>>>>（分以下几种情况）隐函数的求导法则小结