《高数习题》PPT课件

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1、习题课一、曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法机动目录上页下页返回结束线面积分的计算第十一章定积分曲线积分重积分曲面积分计算计算计算Green公式Stokes公式Guass公式各种积分之间的联系一、曲线积分的计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)积分路径参数方程代入法转化定积分一代二换三定限(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终机动目录上页下页返回结束(1)利用对称性，轮换对称性及质心公式简化计算;(2)利用积分与路径无关的等价条件;(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用两类曲线积分的联系公式.2.

2、基本技巧机动目录上页下页返回结束例1.计算其中为曲线解:利用轮换对称性,有利用重心公式知(的重心在原点)机动目录上页下页返回结束解:例2.求平面被坐标面与曲面截下的在第一卦限部分的面积。机动目录上页下页返回结束取x为参数，则：机动目录上页下页返回结束解:例3.设L是正方形区域的边界，计算积分解：机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束解:因为积分与路径无关，所以例5.设积分与路径无关，且有二阶连续导数，求函数而即有这是一个二阶常系数线性非齐次微分方程.机动目录上页下页返回结束先求它所对应的齐次微分方程的通解：特征方程为：特征根为：则所求齐次微分方程的通解为：

3、机动目录上页下页返回结束再求非齐次微分方程的通解：因为为特征根，所以设特解为：代入原方程计算得：于是：二、曲面积分的计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(1)统一积分变量—代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:始终非负第二类:有向投影(3)确定二重积分域—把曲面积分域投影到相关坐标面机动目录上页下页返回结束2.基本技巧(1)利用对称性及重心公式简化计算(2)利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3)两类曲面积分的转化机动目录上页下页返回结束思考题1)二重积分是哪一类积分?答:第一类曲面积分的特例.

4、2)设曲面问下列等式是否成立?不对!对坐标的积分与的侧有关机动目录上页下页返回结束例6.设是曲面解:取足够小的正数,作曲面取下侧使其包在内,为xoy平面上夹于之间的部分,且取下侧,取上侧,计算则机动目录上页下页返回结束第二项添加辅助面,再用高斯公式计算,得机动目录上页下页返回结束例7.计算曲面积分中是球面解:利用对称性用重心公式机动目录上页下页返回结束例8.设L是平面与柱面的交线从z轴正向看去,L为逆时针方向,计算解:记为平面上L所围部分的上侧,D为在xoy面上的投影.由斯托克斯公式公式目录上页下页返回结束D的形心机动目录上页下页返回结束三、积分的应用1.

5、几何方面面积(平面域或曲面域),体积质量,转动惯量,质心,引力2.物理方面机动目录上页下页返回结束曲面面积的计算法SDxy机动目录上页下页返回结束曲顶柱体的表面积如图曲顶柱体，机动目录上页下页返回结束解由对称性机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例10.在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上,要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个的另一边长度应为多少?提示:建立坐标系如图.由对称性知由此解得问接上去的均匀矩形薄片即有薄片的重心恰好落在圆心上,机动目录上页下页返回结束例11.计算二重积分其中D是由曲所围成的平面域.解:其形心坐标为:面积为:积分区

6、域线形心坐标机动目录上页下页返回结束作业P2563;4;5;6;7;机动目录上页下页返回结束