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1、第三部分事故树的定性分析一、事故树的数学描述事故树的结构函数结构函数——描述系统状态的函数。xi=1表示事件i发生（i=1,2,…,n）0表示事件i不发生（i=1,2,…,n）y=1表示顶事件发生0表示顶事件不发生X=(x1,x2,…,xn)事件状态函数——顶事件状态—y=Φ(X)或y=Φ(x1,x2,…,xn)Φ(X)——系统的结构函数顶事件的状态取决于各基本事件则Φ(X)=T=M1+M2=x1M3+x2M4=T=x1(x3+x4x5)+x2(x4+x3x5)练习1：写出如下事故树的结构函数T=(x1+
2、x2x3)(x3+x4)T.M1M2M3.++X1X4X5X2X3练习2：写出如下事故树的结构函数T=(x1+x2)(x3+x4)+x5x6x7二、利用布尔代数化简事故树布尔代数布尔代数也叫逻辑代数，是一种逻辑运算方法。其变量中有1和0两种取值，表示某个事件存在与否或真与假的一种状态。①结合律（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）（A·B）·C＝A·（B·C）②交换律A＋B＝B＋AA·B＝B·A③分配律A·（B＋C）＝（A·B）＋（A·C）A＋（B·C）＝（A＋B）·（A＋C）1、布尔代数的运算规则④等幂律A＋A
3、＝AA·A＝A⑤吸收律A＋A·B＝AA·（A＋B）＝A⑥互补律A＋A´＝１A·A´＝０⑦对合律（A´）´＝A⑧德·莫根律（A＋B）´＝A´·B´（A·B）´＝A´＋B´2、化简事故树T=(x1+x2)(x1x3)T=(x1+x2)(x1x3)=x1x1x3+x1x2x3T=(x1+x2)(x1x3)=x1x1x3+x1x2x3=x1x3等效事故树练习1：化简该事故树，并做出等效图T=x1Mx2=x1(x1+x3)x2=x1x1x2+x1x3x2=x1x2等效事故树练习2：化简该事故树，并做出等效图T=x1
4、x2+x2x3x4+x1x4等效事故树三、最小割集1、割集和最小割集割集：事故树中某些基本事件的集合，当这些基本事件都发生时，顶事件必然发生。如果在某个割集中任意除去一个基本事件就不再是割集了，这样的割集就称为最小割集。也就是导致顶事件发生的最低限度的基本事件组合。也可以说，最小割集是引起顶事件发生的充分必要条件。2、最小割集的求法布尔代数化简法行列法布尔代数化简法事故树经过布尔代数化简，得到若干交集的并集，每个交集实际就是一个最小割集。2、最小割集的求法布尔代数化简法行列法行列法行列法是1972年由富赛
5、尔(Fussel)提出的，所以又称富塞尔法。从顶事件开始，按逻辑门顺序用下面的输入事件代替上面的输出事件，把与门连接的事件横向列出，把或门连接的事件纵向排开。这样逐层代替，直到各基本事件，列出若干行，最后再用布尔代数化简，其结果即最小割集用布尔代数化简法和行列法求最小割集T=x1+x2+x3+x4x7+x5x7+x6+x8{x1};{x2};{x3};{x4,x7};{x5,x7};{x6};{x8}x1x4M5x4x6M2M4M5x4x7x5M5x5x6TM1x6x5x7行列M6M3x8x2x3T=x1
6、+x2+x3+x4x7+x5x7+x6+x8{x1};{x2};{x3};{x4,x7};{x5,x7};{x6};{x8}等效事故树练习：用布尔代数化简法和行列法求该事故树的最小割集T=x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x5x6x7径集：事故树中某些基本事件的集合，当这些基本事件都不发生时，顶事件必然不发生。如果在某个径集中任意除去一个基本事件就不再是径集了，这样的径集就称为最小径集。也就是不能导致顶事件发生的最低限度的基本事件组合。也可以说，最小径集是保证顶事件不发生的充分必要条件。1、径集和最
7、小径集四、最小径集2、最小径集的求法最小径集的求法是将事故树转化为对偶的成功树，求成功树的最小割集即事故树的最小径集。画出成功树，求原树的最小径集1、画成功树2、求成功树的最小割集3、原事故树的最小径集成功树T′=x1′x2′x3′x4′x5′x6′x8′+x1′x2′x3′x6′x7′x8′′′T=（x1+x2+x3+x4+x5+x6+x8）（x1+x2+x3+x6+x7+x8）{x1,x2,x3,x4,x5,x6,x8};{x1,x2,x3,x6,x7,x8}练习：1、求其最小割集2、画成功树3、求成
8、功树的最小割集4、原事故树的最小径集5、画出以最小割集表示的事故树的等效图6、画出以最小径集表示的事故树的等效图T=x1x5+x1x6+x1x7+x2x5+x2x6+x2x7+x3x4x5+x3x4x6+x3x4x7成功树T=(x1+x2+x3)(x1+x2+x4)(x5+x6+x7)五、最小割集和最小径集的在事故树分析中的作用1、最小割集在事故树分析中的作用（1）表示系统的危险性（2）表示顶事件发生的原因组合（3）为降低系统
