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《扬州大学高等代数课件(北大三版)--第九章欧几里得空间》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第九章欧几里得空间学时：18学时。教学手段：讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。基本内容和教学目的：基本内容：欧几里得空间定义与基本性质；标准正交基；同构；正交变换；子空间；对称矩阵的标准形；向量到子空间的距离、最小二乘法。教学目的：欧几里得空间定义与基本性质。掌握标准正交基、同构、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。了解向量到子空间的距离、最小二乘法。重点和难点：重点：标准正交基、同构、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。难点：同构、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。9.1欧氏
2、空间定义及其性质一概念引入物理学上力F所做之功：W=SFcosθF空间解析中,矢量的数量积一般表示：ξ,η∈V3Fcosθ1)ξ,η均不为0：ξη=
3、ξ
4、
5、η
6、cos<ξz,η>∈R；2)ξ或η为0：规定ξη=0.→由数量积最本质的属性出发，采用公理化方法在线性空间中引入内积概念，从而建立欧几里德几何的基本特征.Θ公理1称为对称性，公理2，3合称为线性性，公理4称为恒正性.对称性，线性性和恒正性正是数量积（如功）的基本属性.在此基础上可进一步建立向量长度、夹角、距离等概念，这均为几何空间的特征，是以欧氏
7、几何为基础的，故称为欧氏空间.定义1V是R上的线性空间，V上定义二元实值函数，称为内积，是指对任意的α,β,γ∈V，对任意的k∈R,存在唯一的(α,β)∈R,使得1)(α,β)=(β,α)；2)(kα,β)=k(α,β)3)(α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ)4)(α,α)≥0，并且α=0当且仅当(αα)=0这时，称V是欧几里德空间.例1Rn中，对任意的ξ=(x1,···,xn),η=(y1,···,yn)∈Rn,规定(ξ,η)=x1y1+···+xnyn,则Rn对此构成欧式空间.证明：显然(ξ,η)
8、∈R,且具唯一性.对任意的ξ,η,ζ∈Rn,k∈R,1)(ξ,η)=x1y1+···+xnyn=y1x1+···+ynxn=(η,ξ).2)(kξ,η)=kx1y1+···+kxnyn=k(x1y1+···+xnyn)=k(ξ,η).3)(ξ+η,ζ)=(x1+y1)z1+···+(xn+yn)zn=(x1z1+···+xnzn)+(y1z1+···+ynzn)=(ξ,ζ)+(η,ζ).4)(ξ,ξ)=x12+···+xn2≥0.而ξ=0当且仅当x1=x2=···=xn=0当且仅当(ξ,ξ)=x12+·
9、··+xn2=0.故Rn关于(ξ,η)构成一个欧氏空间.□例2C(a,b)={定义在[a,b]上的实值连续函数}关于如下规定的二元函数构成R上的欧氏空间.对任意的f(x),g(x)∈C(a,b),证明分析：根据定积分的性质，易证欧氏空间定义中4条公理成立，故C(a,b)关于（f,g）构成欧氏空间.注：R[x],R[x]n关于如上 定义的（f,g）也构成欧氏空间.af(x)b二基本性质5）(α,kβ)=k(α,β)(α,kβ)=(kβ,α)=k(β,α)=k(α,β).6)(α,β+γ)=(α,β)+(α
10、,γ)(α,β+γ)=(β+γ,α)=(β,α)+(γ,α)=(α,β)+(α,γ).7)(0,α)=(α,0)=0(对任意的α∈V)(0,α)=(0·0,α)=0(0,α)=0=(α,0).8)对任意的β∈V，(αβ)=0,则α=0取β=α,则(αα)=0,据公理4得α=0.9)三向量长度四向量夹角为在V中引入夹角概念，先研究如下性质：12）(α,β)2≤(αα)(ββ)(或
11、(α,β)
12、≤
13、α
14、
15、β
16、)其中等号成立当且仅当α,β线性相关.该不等式称为柯西-布涅柯夫斯基-施瓦茨不等式.柯西:法国数学家
17、（1789-1857年）其主要贡献在微积分，复变函数和微分方程方面，许多定理和公式均以他的名字命名.布涅柯夫斯基是俄国数学家，施瓦茨是德国数学家，他们各自都发现如上结论，故历史上一般称为柯西-布涅柯夫斯基-施瓦茨不等式.柯西五向量的距离15)｜α+β｜≤｜α｜+｜β
18、（三角不等式）证明：
19、α+β
20、2=(α+β,α+β)=(α,α)+2(α,β)+(β,β)≤
21、α
22、2+2
23、α
24、
25、β
26、+
27、β
28、2=(
29、α
30、+
31、β
32、)2→｜α+β｜≤｜α｜+｜β
33、.□几何意义：几何空间中，两边之和大于第三边.定义5向量α,β的
34、距离d(α,β)=
35、α－β
36、几何意义如图示.16)α≠β,则d(α,β)＞0.α－β17)d(α,β)=d(β,α).β18)d(α,γ)≤d(α,β)＋d(β,γ).α证明：d(α,γ)=
37、α－γ
38、≤
39、α－β
40、＋
41、β－γ
42、=d(α,β)＋d(β,γ).19）欧氏空间的子空间关于其内积也构成欧氏空间.故可引入欧氏空间的子空间的概念.六度量矩阵9.2标准正交基一.概念及基本性质定义1V中一组非零向量两两正交，则称其为正交向量组.单个非零向量所
