函数极值与导数(I)

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1、知识回顾:如果在某个区间内恒有,则为常数.用“导数法”求单调区间的步骤:注意：函数定义域①求②令③求单调区间确定函数定义域函数极值与导数问题：如图表示高台跳水运动员的高度随时间变化的函数的图象单调递增单调递减归纳:函数在点处,在的附近,当时,函数h(t)单调递增，;当时,函数h(t)单调递减,。探究（3）在点附近,的导数的符号有什么规律?（1）函数在点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?（2）函数在点的导数值是多少?(图一)问题：(图二)探究(图一)(图二)极大值f(b)点a为函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y

2、=f(x)的极小值.点b为函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值.极小值f(a)思考：极大值一定大于极小值吗？（1）如图是函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？（2）如果把函数图象改为导函数的图象?随堂练习答：1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x)的极

3、大值点，x4是函数y=f(x)的极小值点。下面分两种情况讨论:（1）当，即x＞2,或x＜-2时;（2）当，即-2＜x＜2时。例1：求函数的极值.解:∵∴当x变化时，的变化情况如下表：∴当x=-2时,f(x)的极大值为令解得x=2,或x=-2.当x=2时,f(x)的极小值为探索:x=0是否为函数f(x)=x3的极值点?xyOf(x)x3思考:若寻找可导函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可?f(x)=3x2当f(x)=0时，x=0，而x=0不是该函数的极值点.f(x0)=0x0是可导函数f(x)的极值点x0左右侧导数

4、异号x0是函数f(x)的极值点注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；解方程，当时：练习：下列结论中正确的是（）。A、导数为零的点一定是极值点。B、如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值。C、如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极大值。Ｄ、极大值一定大于极小值。B0xy(通过列表法)练习：求函数的极值当时,有极大值，并

5、且极大值为∴当时,有极小值，并且极小值为解:∵∴令，得，或下面分两种情况讨论：（1）当，即时；（2）当，即，或时。当变化时，的变化情况如下表：例2：已知函数在处取得极值。（1）求函数的解析式（2）求函数的单调区间1.函数在时有极值10，则a，b的值为（）A、或B、或C、D、以上都不对C，解:由题设条件得：解之得注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件注意代入检验接触高考:导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有（）个极小值点。A.1B.2C.3D.42.（2006年天津卷)函数的定义域为开区间f(x)<0f

6、(x)>0f(x)=0注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别3.(2006年北京卷)已知函数在点处取得极大值5,其导函数的图像(如图)过点（1,0）,（2,0）,求：（1）的值；（2）a,b,c的值；.略解：(1)由图像可知：(2)注意：数形结合以及函数与方程思想的应用小结:一、方法:(1)确定函数的定义域(2)求导数f'(x)(3)求方程f'(x)=0的全部解(4)检查f'(x)在f'(x)=0的根左.右两边值的符号,如果左正右负(或左负右正),那么f(x)在这个根取得极大值或极小值二、应用数形结合和函数、方程的思想解

7、决函数的极值的一些问题函数的极值的含义,并利用导数求函数的极值