函数的极值与导数(I)

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1、1.3.2判断函数单调性的常用方法：（1）定义法（2）导数法【已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]的单调性，求参数的取值范围的步骤】(1)求定义域及导数y＝f′(x)；(2)转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在x∈[a，b]上恒成立问题(3)由不等式恒成立求参数范围；(4)验证等号是否成立．注：单调区间不能以“并集”出现。探究、如图，函数y=f(x)在a,b,c,d,e,f,g,h等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f(x)的导数的符号有什么变化规律？

2、abcdefoghxyy=f(x)y=f(x)2)函数y=f(x)在x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其它各点的函数值都大，我们就说f(b)是函数的一个极大值，点b叫做极大值点．函数极值的定义4)极大值点,极小值点统称为极值点1)函数y=f(x)在x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其它各点的函数值都小，我们就说f(a)是函数的一个极小值.点a叫做极小值点．3)极大值与极小值统称为极值.注:函数的极大值、极小值未必是函数的最大值、最小值.即:极大值不一定等于最大值极小值不一定等于最小值f(a)f(b)

3、新知探究:【注意】1.正确理解极值的概念:极大值与极小值统称为极值．在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下几点：(1)极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小．(2)函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)>f(x1)

4、．(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．（5）严格单调函数无极值@注：求出f′(x)＝0的根和f′(x)无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断．观察图像并类比函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系?oax0bxyxx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)oax0bxyxx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)增f(x)>0f(x)=0f(x)<0极大值减f(x)<0f(x)=0增减极小值f(x)>0请问如何判断f(x0)是极大值或是极小值？左正右负为

5、极大，右正左负为极小。探索:x=0是否为函数f(x)=x3的极点?xyOf(x)x3若寻找可导函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可?而x=0不是该函数的极值点.f(x0)=0x0是可导函数f(x)的极值点x0左右侧导数异号x0是函数f(x)的极值点f(x0)=0注意：f/(x0)=0是可导函数取得极值的必要不充分条件f(x)=3x2当f(x)=0时，x=0，【跟踪训练1】课本P29页1T新知探究:思考：充要条件？见书P29（书p28）【求可导函数f(x)的极值的步骤】(1)确定函数的定义区间，求导数

6、f′(x)．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.强调:要想知道x0是极大值点还是极小值点就必须判断f(x0)=0左右侧导数的符号.【跟踪训练2】课本P292变式答：1）a=-0.5，b=-22）f极大=f（-2/3）=49/27f极小=f（1）==-0.5

7、思考：练1..函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如右图所示，则函数f(x)()A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、两个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点[分析]通常给出函数的图象或与函数极值有关的命题形式，进行辨别和判断函数极值的存在情况．[解析]设f′(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，当x0，f(x)为增函数，当x1

8、极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C.[答案]C练2.下列说法正确的是()A．若f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为f(x)的极小值B．若f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)的极大值C．若f(x0)为f(x)的极大值，则f(x)≤f(x0)D．以上都不对[答案]D1.了解函数极大(小)值的概念；了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件