同济大学第五版高数(I)

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1、二、高阶导数的求法举例第三节一、高阶导数的定义高阶导数第二章一、高阶导数的定义问题:变速直线运动的加速度.定义记作三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数,二、高阶导数求法举例例1解1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例2解例3解注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)例4解同理可得例5解例6.设求使存在的最高分析:但是不存在.2又阶数2.高阶导数的运算法则:莱布尼兹公式例7解3.间接法:常用高阶导数公式利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代

2、换等方法,求出n阶导数.例8解例9解例10.设求解:即用莱布尼兹公式求n阶导数令得由得即由得三、小结高阶导数的定义及物理意义;高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);n阶导数的求法;1.直接法;2.间接法.思考题设连续，且，求.思考题解答可导不一定存在故用定义求思考与练习1.如何求下列函数的n阶导数?解:解:(3)提示:令原式原式解:第四节一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数三、相关变化率隐函数和参数方程求导相关变化率第二章一、隐函数的导数定义:隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.例1解解得例

3、2解所求切线方程为显然通过原点.例3解二、对数求导法观察函数方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:例4解等式两边取对数得例5解等式两边取对数得一般地例6：两边取对数两边对x求导例7：对x求导两边取对数三、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?由复合函数及反函数的求导法则得例8解所求切线方程为例9解例10解?例11.设,且求解:例12设由方程确定函数求解:方程组两边对t求导,得故三、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系

4、式对t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?例13解仰角增加率例14解水面上升之速率4000m试求当容器内水例15有一底半径为Rcm,高为hcm的圆锥容器,今以自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.解:设时刻t容器内水面高度为x,水的两边对t求导而故体积为V,则五、小结隐函数求导法则:直接对方程两边求导;对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;解法:通过建立两者之间的关系,用链式

5、求导法求解.