[理学]概率统计浙大版

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1、概率论与数理统计第二章随机变量及其分布2012.9.19一、随机变量概念的产生在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.§1随机变量1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.例如，掷一颗骰子面上出现的点数；四月份哈尔滨的最高温度；每天进入一号楼的人数；昆虫的产卵数；2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数.e.X(e)R这种实值函数与在高等数学

2、中大家接触到的函数不一样！（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.称这种定义在样本空间S上的实值单值函数X=X(e)为随量机变简记为r.v.而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z,w,n等.随机变量通常用大写字母X,Y,Z,W,N等表示有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达.二、引入随机变量的意义如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量.事件{收

3、到不少于1次呼叫}{没有收到呼叫}{X1}{X=0}随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.事件及事件概率随机变量及其取值规律我们将研究两类随机变量：如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.随机变量离散型随机变量连续型随机变量例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.三、随机变量的分类这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点.随机变量连续型随机变量离散型随机变量学习时请注意它们各自的特点和描述

4、方法.全部可能取值无穷多，不能一一列举，充满一个区间所有取值可以逐个一一列举解：分析例1一报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元.报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回.设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.当0.15X<1000×0.1时，报童赔钱故{报童赔钱}{X666}{报童赔钱}{卖出的报纸钱不够成本}看一个例子:从中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量.(1)X可能取的值是0,1,2;(2)取每个值的概率为:一、离散型随机变量分布律的定义§2离散型随机变量及其分布律定义1：某些随机变量X的所有可能取值

5、是有限多个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量.其中(k=1,2,…)满足：k=1,2,…（1）（2）定义2：设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称为离散型随机变量X的分布律.用这两条性质判断一个函数是否是分布律解:依据分布律的性质P(X=k)≥0,a≥0,从中解得即例2设随机变量X的分布律为：k=0,1,2,…,试确定常数a.二、离散型随机变量表示方法列表法：图示法：公式法：P(X=xk)=pkXPp1p2…pkx1x2…xkx1x2xk…p1p2pkxpo例3某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.解：X

6、可取值为0,1,2;P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81常常表示为：这就是X的分布律.例5一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等.以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的分布律.解:依题意,X可取值0,1,2,3.P{X=0}=P(A1)=1/2,Ai={第i个路口遇红灯},i=1,2,3设路口3路口2路口1P{X=1}=P()=1/4P{X=2}=P()=1/8X表示

7、该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数路口3路口2路口1路口3路口2路口1=1/8P(X=3)=P()路口3路口2路口1即X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数三、三种常见分布1、（0-1）分布：（也称两点分布）随机变量X只可能取0与1两个值，其分布律为：看一个试验将一枚均匀骰子抛掷3次.X的分布律是：2.伯努利试验和二项分布令X表示3次中出现“4”点的次数掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”抽验产品：“是正品”，“是次品”一般地，设在一次试验E中我们只考虑两个互逆的结果：A或.这样的试验E称为伯努利试验.“