2020届江苏省镇江市统一高考数学第一轮复习学案（解析答案版）：36 定点定值问题

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1、36定点定值问题课题解析几何中的定值、定点问题上课教师上课班级主备人高雄英审核人上课时间教学目标理解定点与定值产生的状态和意义并掌握求定点与定值的常用方法教学重点理解定点与定值产生的状态，会求定点与定值教学难点掌握定点与定值的常用方法，会解决相关的问题前置学案一、知识梳理：定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．

2、求定值问题常见的方法（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．二、基础训练＊（1）不论取何实数，直线恒过一个定点，则此定点的坐标是.答案：＊（2）已知圆的方程是上述圆恒过定_______.答案：＊＊（3）椭圆上任意经过原点的弦的两个端点与椭圆上的任一点（除这两点外）连线斜率之积为．答案：＊＊（4）已知是圆上任意两点，点关于轴的对称点为，若直线分别交轴于点和，则．答案：2＊＊（5）设是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连

3、接第16页共16页16交椭圆于另一点，则直线与轴必相交于定点．答案：＊＊（6）若M，N是椭圆C：上的点，且直线OM与ON的斜率之积为，椭圆C存在动点，满足，则=．答案：设，，则，化简为．∵M，N是椭圆C上的点，∴，．由得．所以．三、例题选讲例1.过椭圆的上顶点A作互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点．求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标．解析由对称思想可知，直线MN过的定点位于轴上，特值化易得直线MN过的定点为．证明设直线的方程为，联立椭圆方程，消去，得．解得：，．同理可得：，．所以，．所以．

4、故直线MN过的定点为．说明本题还可以设直线MN的方程为，由韦达定理找出，的关系．变式演练变式1过椭圆的上顶点A作两条直线分别交椭圆于M，N两点，且两条直线的斜率之积为．求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标．解析本题可以参照例题的做法，也可以设直线MN的方程为，由韦达定理找出，的关系．比较两种做法的，寻找每一种方法的合理性．第16页共16页16变式2【2017·课标1理20】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求

5、C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点．解析（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点．又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上．因此，解得．故C的方程为．（2）设直线与直线的斜率分别为．如果与轴垂直，设，由题设知，且，可得的坐标分别为．则，得，不符合题意．从而可设，将代入得．由题设可知．设，则．而．由题设，故．即．解得，第16页共16页16当且仅当时，，欲使：，即．所以过定点．例3如图，椭圆E：的左焦点为F

6、1，右焦点为F2，离心率．过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8．(Ⅰ)求椭圆E的方程．(Ⅱ)设动直线：与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【解析】方法一：（Ⅰ）因为，即，又，所以，.又因为，即，所以，所以，故椭圆的方程为.（Ⅱ）由得.因为动直线与椭圆E有且只有一个公共点，所以且，即，化简得.（*）此时，，，所以.由得.假设平面内存在定点M满足条件，由图形对

7、称性可知，点M必在x轴上．设，则对满足（*）式的m，k恒成立.因为，，第16页共16页16由得，整理，得.（**）由于（**）式对满足（*）式的m，k恒成立，所以解得.故存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点M．方法二：（Ⅰ）同方法一．（Ⅱ）由得．因为动直线与椭圆E有且只有一个公共点，所以且，即，化简得（*），此时，，，所以．由得，假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性可知，点M必在x轴上．取，，此时，，以PQ为直径的圆为，交x轴于，，取，，此时，，以PQ为直径的圆为，交x轴于点所以若符合条件

8、的点M存在，则M的坐标必为．以下证明就是满足条件的点：因为的坐标是，所以，，从而，故恒有，即存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点M.课堂训练11.设O为坐标原点，动点M在椭圆上，过M作x轴的垂线，垂足为点N，点P满足.第16页共16页16（1）求点P的轨迹方程（2）设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线过定点（2）由题意知。设,则，。由得，又由（1）知，故。所以过点P且垂直于OQ的直线为：即所以直线为：，过定点（-1,0）2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b