高三数学第二轮复习讲义-导数及其应用

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1、【MeiWei_81重点借鉴文档】导数及其应用类型一：没有其他未知字母情况下，求单调性，极值，最值例1：设函数若曲线R=f(R)的斜率最小的切线与直线12R+R=6平行，求：（Ⅰ）a的值;（Ⅱ）函数f(R)的单调区间.解：(Ⅰ)(Ⅱ)由(Ⅰ)知变式训练1：设函数，其中．（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（Ⅰ）解：．当时，．令，解得，，．在，是增函数，在，内是减函数．（Ⅱ）解：，显然不是方程的根．为使仅在处有极值，必须恒成立，即有．解此不等式，得．这时，是唯一极值．的取值范围是．类型二：结合函数的图像与性质求参

2、数的取值范围问题例2：设为实数，函数。（1）求的极值；（2）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点。解：（1），若，则所以的极大值是，极小值是。（2）函数。由此可知取足够大的正数时，有，取足够小的负数时，有，所以曲线与轴至少有一个交点.结合的单调性可知：当的极大值，即时，它的极小值也因此曲线与轴仅有一个交点，它在上；当的极小值时，即上时，它的极大值也小于0，与【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】轴仅一个交点，它在上。当时，与轴仅有一个交点。变式训练2：．已知函数有三个极值点。证明：；因为函数有三个极值点,所以

3、有三个互异的实根.设则当时，在上为增函数；当时，在上为减函数；当时，在上为增函数，所以在时取极大值,在时取极小值。当或时,最多只有两个不同实根。有三个不同实根,所以且，即,且，解得且故.类型三：含字母时，对判别式进行分类讨论例3：．已知函数，．（1）讨论函数的单调区间；（2）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．解：（1）求导得当时，，，在上递增；当，求得两根为，即在递增，递减，递增。（2），且，解得。变式训练3：设函数,其中.(I)当时,判断函数在定义域上的单调性;(II)求函数的极值点;高&考%资(源#网wRc解：(I)函数的定义域为.，高

4、&考%资(源#网wRc令，则在上递增，在上递减，.当时，，在上恒成立.即当时,函数在定义域上单调递增。（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】（2）当时，，时，时，时，函数在上无极值点。（3）当时，解得两个不同解高&考%资(源#网wRc，当时，，此时在上有唯一的极小值点.当时，高&考%资(源#网wRc在都大于0，在上小于0，此时有一个极大值点和一个极小值点.综上可知，时，在上有唯一的极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点类型四：含

5、字母时，对导函数的零点以及区间的位置进行分类讨论例4：已知函数且（I）试用含的代数式表示；（Ⅱ）求的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m:解：（I）依题意，得（Ⅱ）由（I）得（故令，则或①当时，由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为②由时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R③当时，，的单调增和，单调减区综上：当时，函数增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为(-1.1-2a)变式训练4：已知是实数，函数【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴

6、文档】（1）若，求的值及曲线在点处的切线方程；（2）求函数R＝f(R)在区间[1，2]上的最小值。解：（1），因为，所以．又当时，，，在处的切线方程为．(2)设最小值为，当时，则是区间[1,2]上的增函数,所以；当时，在时，；在时，①当，即时，；②当，即时，；③当时，.则函数的最小值题型五、恒成立问题例5．设函数。(1)如果，点为曲线上一个动点，求以为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；(2)若时，恒成立，求的取值范围。解：(1)设切线斜率为，则当时，取最小值-4，又，所以，所求切线方程为，即(2)由，解得：或。函数在和上是增函数，在上是减函数

7、。所以或或解得变式训练5：已知函数（1）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；（2）若，求证：．解：（1），令即的增区间为在区间上是增函数，；，，【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】在区间[-1，1]上的最大值M为4，最小值N为0，故对任意，有题型六、导数解决不等式问题例6．对于函数（1）若函数在处的切线方程为,求的值；（2）设是函数的两个极值点,且,证明：解：（1）由切点为，，有解得（2）由题，、是方程的两个根，可得两根一正一负，不妨设设；当时，.所以当时，，即.变式训练6：已知函数，，证明：题型七、以函数为模

8、型运用导数解决应用问题例7．用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大