第2章 机械优化设计优化方法的数学基础

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1、第二章优化方法的数学基础§2-1方向导数与梯度§2-2凸集、凸函数与凸规划§2-3二次函数及正定矩阵§2-4无约束优化问题的极值条件§2-5有约束优化问题的极值条件§2-1方向导数与梯度一、方向导数二元函数在点x0处沿某一方向s的方向导数方向导数是偏导数概念的推广。方向导数与偏导数之间的数量关系是n元函数在点x0处沿s方向的方向导数Ox2x1x10x20x0x1x2sxS12图2-1二、梯度二元函数的梯度为函数F(x1，x2)在x0点处的梯度。梯度的模：设s方向和梯度方向重合时，方向导数值最大。梯度方向是函数值变化最快的方向，而梯度的模就是函数变化率的最大值。图2-

2、2梯度方向与等值线的关系设：则有为单位向量。多元函数的梯度梯度模：函数的梯度方向与函数等值面相垂直，也就是和等值面上过x0的一切曲线相垂直。由于梯度的模因点而异，即函数在不同点处的最大变化率是不同的。因此，梯度是函数的一种局部性质。图2-3梯度方向与等值面的关系梯度两个重要性质：（搜索方向问题）性质一函数在某点的梯度不为零，则必与过该点的等值面垂直；性质二梯度方向是函数具有最大变化率的方向。例题2-1求函数在点[3,2]T的梯度。在点x(1)=[3,2]T处的梯度为：解：则函数在处的最速下降方向是例2-2：试求目标函数在点处的最速下降方向，并求沿这个方向移动一个单位长度后新点

3、的目标函数值。解：由于新点是这个方向上的单位向量是：几个常用的梯度公式：当极值点X*能使f（X*）在整个可行域中为最小值时，即在整个可行域中对任一X都有f（X）≥f（X*）时，则X*就是最优点，且称为全域最优点或整体最优点。若f（X*）为局部可行域中的极小值而不是整个可行域中的最小值时，则称X*为局部最优点或相对最优点。最优化设计的目标是全域最优点。为了判断某一极值点是否为全域最优点，研究一下函数的凸性很有必要。函数的凸性表现为单峰性。对于具有凸性特点的函数来说，其极值点只有一个，因而该点既是局部最优点亦为全域最优点。为了研究函数的凸性，现引入凸集的概念：§2-2凸集、凸函数

4、与凸规划的等高线。一、凸集设D为n维欧氏空间中的一个集合，若其中任意两点X(1)、X(2)之间的联接直线都属于D，则称这种集合D为n维欧氏空间的一个凸集。图2-3（a）是二维空间的一个凸集，而图2-3（b）不是凸集。图2-3二维空间的凸集与非凸集X（1）、X（2）两点之间的联接直线，可用数学式表达为:式中为由0到1（0≤≤1）间的任意实数。凸集的性质：1）若A为凸集，是一个实数，则集合A仍是凸集；2）若A和B均为凸集，则其和（或并）仍是凸集；3）任何一组凸集的积（或交）仍是凸集。二、凸函数具有凸性（表现为单峰性）或只有唯一的局部最优值亦即全域最优值的函数，称为凸函数或单峰函数

5、。其数学定义是：设f（X）为定义在n维欧氏空间中的一个凸集D上的函数，如果对任何实数a（00），则af（X）也必是定义在凸集D上的凸函数；3）若

6、f1(X），f2(X)为定义在凸集D上的两个凸函数，α和β为两个任意正数，则函数afl（X）＋βf2(X)仍为D上的凸函数。2）定义在凸集D上的两个凸函数f1(X），f2(X)，其和f（X）=f1（X）十f2（X）亦必为该凸集上的一个凸函数。4）若f（X）为定义在凸集D上且具有连续一阶导数的函数，则f（X）为凸函数的充分必要条件为：对任意两点X（1），X（2），不等式恒成立5）根据二阶导数（Hesse矩阵)来判断函数的凸性设f(x)为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数，则f(x)在R上为凸函数的充要条件：Hesse矩阵在R上处处半正定。三、凸规划对于约束优化问题式中若F（

7、X）、均为凸函数，则称此问题为凸规划。凸规划的一些性质：2）凸规划问题中的任何局部最优解都是全局最优解；1）可行域为凸集；3）若F（X）可微，则X*为凸规划问题的最优解的充分必要条件为：对任意，对满足不论是无约束或有约束的优化问题，在实际应用中，要证明一个优化问题是否为凸规划，一般比较困难，有时甚至比求解优化问题本身还要麻烦。尤其对一些工程问题，由于其数学模型的性态都比较复杂，更难实现。因此，在优化设计的求解中，就不必花精力进行求证，而通常是从几个初始点出发，找出几个局部最优解，从中选择目标函数值最好的