求二次函数的最值

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1、课题：求二次函数的最值教学目的：使学生掌握求二次函数的最值的方法。重点难点：求一个二次函数关系式中含有参数且自变量又有限制条件的最值问题。教学过程：一、课题引入一元二次函数是初中学过的内容，但它在高中学习中起到非常重要的作用，贯穿高中全部学习过程，同时也是高考重点考查内容，二次函数的应用很广，主要有不等式和方程的应用，利用二次函数的图象来解一元二次不等式和讨论一元二次方程的实根分布情况，及求二次函数的最值。二、讲解课题今天我们主要学习二次函数求最值方面的应用，求一个二次函数的最值，主要分三种情况。①当自变量X可以取一切实数时，y=

2、ax2+bx+c（a≠0）的最值可用公式求得，也可以用配方法把x=-代入解析式求得。例：已知：函数y=x2-2x+3（x∈R），求函数的最值。解：由y=x2-2x+3=（x-1）2+2得：当x=1时ymin=2②当自变量x有限制条件时，要求y=ax2+bx+c（a0）的最值，主要利用数形结合法，画出y=ax2+bx+c在限制范围内的图像，由图像并结合二次函数的单调性得出最大值和最小值。同时指出作二次函数的图像时先看开口方向，再看对称轴的位置，然后看与x轴的交点。例：已知：y=f（x）=,当时,求函数的最大值和最小值。[思路分析：]

3、本题二次函数图像不变，而限制条件区间在变，属“轴定区间变”的题型，故应对区间进行分类讨论，其分类方法主要按对称轴在闭区间内、左边、右边讨论，在闭区间左边或右边可以利用单调性求得，在闭区间内需要比较两端点函数值的大小。①当，即时，由图像知：②当时，由图像知：③当，即时，（Ⅰ）当时，即时，由图像知：（Ⅱ）当，即时：综上所述：③当二次函数关系式含有参数且自变量又有限制条件时，要对参数进行讨论，一般分对称轴在限制条件内和限制条件外两大类进行分类讨论来解决问题。例：已知函数时有最大值2，求a的值。[思路分析]：由于函数对称轴x=a位置不定，

4、并且在不同的位置产生的结果也不同，所以要对对称轴的位置进行分类讨论（分对称轴在给定区间的左边，右边，以及在给定区间内）。本例属于“轴变区间定”的题型。解：(1)当对称轴x=a<0时，由图像知：1-a=2即a=-1且满足a<0故：a=-1(2)当对称轴时，由图像知：解得：(3)当对称轴x=a>1时，由图像知：综上所述：a=-1或2。点评：求二次函数在闭区间[m,n]上的最值只有以下两种情况：1．若，则在f(m),f(n),f()中，最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。2．若，则在f(m)与f(n)中，较大的一个为最大值，较小的一

5、个为最小值。三．二次函数与对数函数，指数函数的复合函数的最值问题。（1）函数(f(x)为二次函数)的最值主要是先讨论二次函数f(x)的最值，然后根据指数函数的单调性求得函数的最值。（2）函数(f(x)为二次函数)的最值，在f(x)>0的情况下同样先讨论二次函数f(x)的最值，然后根据对数函数的单调性求得函数的最值。四.随堂练习1．已知函数在闭区间[0,m]上有最大值3，最小值2,则m的取值范围是（）A.2.求函数的最小值。3．设，求函数最大值和最小值。