2、点x=1是没有定义的，但函数当x→1时的极限存在与否跟它并无关系。事实上，对于任意给定的正数ε，不等式约去非零因子x-1后，就化为
3、x-1
4、<ε,因此，只要取δ=ε，那么，当时，就有证：注：在用函数极限的定义证明时，必须找出δ与ε之间的联系，以便对于任给的ε，总能找到对应的δ，对于满足0<
5、x-x0
6、<δ的一切x，使不等式
7、f(x)-A
8、<ε都成立证毕例5证明：任给ε>0∵需满足因此，如取那么当x适合不等式即证：就满足不等式对应的函数值3、单侧极限例如,左极限右极限记作极限:左极限和右极限极限左极限右极限三者关系且左右极限存在但
9、不相等,例6证三、自变量趋向无穷大时函数的极限问题:通过上图可知:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.函数值函数在的过程中,对应f(x)无限确定值A.趋近于y=f(x),0>ε,0>X.)(ε<－Axf恒有,>Xx时使当1、定义对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在着正数,使得对于适合的一切对应的函数值满足不等式,那么常数就叫函数当时的极限,记作定义2如果存在常数A，不等式都任意存在2、另两种情形用函数极限的定义容易证明如下定理：定理：3、几何解释例1证1、有界性定理如果函数f(x)当x→x0时的极限存在,则函数f(x
10、)在x0的某个去心邻域内有界。思考：比较两者的不同之处！注：数列与此相关的定理是收敛数列必有界。证明……四、函数极限的性质证：不妨设极限值为A.由极限的定义可知，任取ε>0,总存在δ>0，对于满足不等式0<∣x-x0∣<δ的一切x,都有∣f(x)-A∣<ε，即A-εd=AA0U0(x,d)
11、xAf(x)x0x或则或时当且若推论注：“f(x)>0(或f(x)<0),则A>0(A<0)”如f(x)f(x)4、子列收敛性（函数极限与数列极限的关系）定义定理例如,定理（函数极限与数列极限的关系）函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.其特征是:M>0,有x<-M关于函数极限与数列极限的联系与区别函数极限,从自变量的变化趋势来看,有以下两种类型:（1）自变量无限增大1。x→∞,表示x按绝对值无限增大其特征是:M>0,有
12、x
13、>M.其特征是:M>0,有x>M2。x→+∞,表示x保持正值无限增大3。x→-
14、∞,表示x保持负值,但绝对值无限增大例：证二者不相等,（2）自变量趋向某个定数x01。x→x0,表示x以任意方式趋向x0,但不等于x0其特征是:δ>0,有0<
15、x-x0
16、<δ2。x→x0+,表示x>x0的方式趋向x0其特征是:δ>0,有x00,有x0-δ
