线性系统理论5系统的运动稳定性

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1、第五章系统的运动稳定性5.1Lyapunov意义下的运动稳定性5.1.1系统的运动与平衡系统:,如果存在某个状态,满足:则称为系统的一个平衡点或平衡状态。令则为系统的平衡点的集合。中的孤立点称为系统的孤立平衡点。例5.1.1考虑下述定常线性系统容易求得其平衡点集为显然，即为三维空间中的超平面，是一个稠密集。5.1.2Lyapunov意义下的运动稳定性定义的任一初态为Lyapunov意义下稳定的，如果对给定的任一实数定义5.1.1（Lyapunov意义下的稳定性）设:为系统的一个平衡状态，称都对应

2、地存在一个实数使得由满足不等式出发的受扰运动都满足不等式的稳定等价于一致稳定，但对时变系统，出现的受扰运动都是Lyapunov意义下为稳定的。的稳定并不意味着其为一致稳定，而且，从实际的角度而言，常要求一致稳定，以便在任一初始时刻定义5.1.2（Lyapunov意义下的一致稳定性）在上述Lyapunov意义下的稳定性定义中，如果的选取无关，则进一步称平衡状态是一致稳定的。对于定常系统，的选取只依赖于而与初始时刻1、是Lyapunov意义下为稳定的，即满足上述关于稳定的定义。定义5.1.3（Lyapu

3、nov意义下的渐近稳定性）动力学系统:的一个平衡状态2、对出发的受扰运动都同时满足不等式称为是渐近稳定的，如果和任意给定的实数对应地存在实数使得由满足不等式的任一初态和定义5.1.4（Lyapunov意义下的一致渐近稳定性）如果在上述Lyapunov意义下的渐近稳定性定义中，实数依赖于初始时刻，那么称平衡状态是一致渐近稳定的。的大小都不的一个平衡状态，如果以状态空间中的任一有限点定义5.1.5（Lyapunov意义下的大范围渐近稳定性）设都是有界的，且成立则称系统的平衡状态为系统为初始状态的受扰运动

4、是大范围渐近稳定的。定义5.1.6（Lyapunov意义下的不稳定定义）设的任一初态出发的运动满足不等式的一个平衡状态，如果对于不管取多么大的有限实数为系统，都不可能找到相应的实数，使得由满足不等式则称平衡状态为不稳定的。定义5.1.7（指数稳定的定义）设的一个平衡状态，如果对于任意的有限实数使得由满足不等式的任一初态出发的运动满足不等式为系统,都存在相应的实数和则称平衡状态为指数稳定的。定义5.1.8（全局指数稳定的定义）设的一个平衡状态，如果对于任意的有限实数的任一初态出发的运动满足不等式为系统

5、，都存在相应的实数和使得由满足不等式则称平衡状态为全局指数稳定的。5.1.3关于稳定性定义的几点说明1.稳定性的主体--平衡点稳定性是动力学系统的性质,稳定性是针对系统的平衡状态而言的,只有对于具有惟一平衡点或者是其所有平衡状态为同时稳定或不稳定的系统言及系统稳定与否才有意义.2.稳定性定义中的初始时刻--一致性问题初始时刻的影响决定了稳定性是否一致的问题.3.稳定性定义中的吸收域在渐近稳定性的定义中表征了稳定平衡状态所允许的初值扰动范围,称为平衡状态的吸收域。它决定了渐近稳定性的全局性和局部性，即

6、当可取为整个维空间时，相应的稳定性便是全局稳定的，否则为局部渐近稳定的。4.几种稳定性之间的关系5.Lyapunov稳定性与微分方程解关于初值的连续性依赖性在微分方程理论中,解的适定性,即解的存在性,惟一性及它对初值的连续依赖性,是一个非常重要的内容.5.1.4Lyapunov第二方法的主要定理Lyapunov把动力学系统稳定性的方法归纳为本质不同的两种方法,分别称为Lyapunov第一方法(间接法:通过对线性化方程的稳定性分析给出原非线性系统在小范围内稳定性的信息)和第二方法(直接法:通过构造一类

7、似于“能量”函数,分析它及其一次导数的定号性而获得系统稳定性的有关信息)均具有一阶连续偏导数。中包含原点1.2.3.定义5.1.9设为是定义在的一个封闭有限区域；上的一个标量函数。如果关于和有界正定，即存在两个连续的和满足非减标量函数并使得对任何和有:则称上的一个（时变）正定函数。进一步，如果具有无穷大性质。是定义在，则称正定函数1.2.3.对于任何上的一个时不变正定函数。定义5.1.10设为中包含为定义在上的一个标量函数。如果原点的一个区域；对于向量的所有分量均有连续偏导数。有，则称为定义在进一步

8、，如果，则称正定函数具有无穷大性质。定理5.1.1如果存在包含原点的某邻域有界正定函数的全导数在上为有界半负定的（或负定的），则该系统的零平衡状态是一致稳定的（或一致渐近稳定的）。和定义在上的一个，它沿着系统上的一个有界正定函数定理5.1.2如果存在一个具有无穷大性质的定义在，它沿着系统的导数在上一致有界一致负定，则该系统的零平衡点为全局一致渐近稳定的。内为半负定的（或负定的），则该系统的零平衡点为局部稳定（或渐近稳定）的。定理5.1.3如果在原点的某邻域内存在一个正