微积分第1章函数、极限与连续之连续函数的概念和性质

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1、1.1函数1.2极限的概念1.3极限的运算1.4函数的连续性第1章函数极限与连续结束连续函数的概念和性质1.6.1函数连续性的概念相应的函数的改变量（增量）:函数的终值与初值之差称为自变量的改变量，记为1.改变量（增量）：1.6函数的连续性0当自变量由初值变化到终值时，终值与初值之差称为自变量的改变量，记为定义1：设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在点处有增量时，相应的函数有增量,如果当自变量的增量趋于零时，函数的增量也趋于零，即则称函数在点处连续，点称为函数的连续点2.连续若记，则，且当时，故定义1又可叙述为注：定义2：设函数y=f(x)在点的某邻域内有定义，若有,则称函数在点处连续.（

2、1）定义1与定义2是等价的,即由左右极限定义可定义左右连续定义（2）由定义2可知若函数在点处连续，则函数在点处的极限一定存在，反之不一定连续（3）当函数在点处连续时，求时，只需求出即可定义3：若函数满足，则称函数在点处左连续。同理可以定义右连续3、左右连续4、区间连续定义4：若函数在（a,b）内每一点都连续，则称函数在（a,b）内连续。由定理3可知：函数在点处连续既左连续又右连续即证明y=sinx在内连续例1证对任意有因为所以故在内连续定义5若函数y=f(x)在（a,b）内每一点都连续，且在左端点a处右连续，在右端点b处左连续，则称函数y=f(x)在[a,b]上连续。1.6.2函数的间断点及

3、其分类则一定满足以下条件如果f(x)在点不能满足以上任何一个条件，则点是函数的间断点。1.可去间断点：如果函数在点的极限存在，但不等于，即则称为的可去间断点。例2解所以x=1为可去间断点重新定义新的函数：则x=1成为函数的连续点2.跳跃间断点：例3所以x=1为跳跃间断点左右极限存在不相等当时，函数值不断地在两点之间跳动，左右极限均不存在3.无穷间断点f(x)在点的左、右极限至少有一个是无穷大，则称为f(x)的无穷间断点例4x=0为无穷间断点4.振荡间断点例5x=0是其振荡间断点间断点的类型：第一类间断点:我们把左右极限都存在的间断点称为第一类间断点.第二类间断点:除第一类以外的间断点,即左右

4、极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点.例6解函数在x=-1,x=0,x=1处没有定义所以x=-1,x=0,x=1是函数的间断点所以x=-1是函数的无穷间断点所以x=0是函数的跳跃间断点(Ⅰ)(Ⅱ)所以x=1是函数的可去间断点解分界点为x=1,x=2（i）当x=1时所以x=1是函数的跳跃间断点(Ⅲ)例7（ii）讨论x=2而f(2)=5所以x=2是函数的连续的点因此,分段函数的分界点是可能间断点设函数y=f(u)在点处连续,u=f(x)在点处连续,且,则复合函数在点处连续.1.6.3初等函数的连续性定理1单调连续函数的反函数在其对应区间上也是单调连续函数。设f(x),g(x)均在点处连续

5、,则也在处连续因此,基本初等函数在其定义域内连续.定理2定理3即：因此,一切初等函数在其定义区间内连续.1.6.4闭区间上连续函数的性质定理4（最值定理）闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。注：对于在开区间或在闭区间上有间断点的函数，结论不一定成立。定理5（介值定理）设函数f(x)在[a,b]上连续,且，为介于f(a)与f(b)之间的任一实数,则至少存在一点，使得推论：如果函数f(x)在[a,b]上连续,且则至少存在一点，使得