期末复习专题(导数

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1、青云学府高二数学组谢大强导数期末复习专题1.导数的概念如果函数y=f(x)在区间(a,b)内的每一点处都有导数,此时对于每一个x∈(a,b),都对应着一个确定的导数f′(x),从而构成了一个新的函数f′(x),称这个函数f′(x)为函数y=f(x)在开区间内的导数，简称导数,也记作y′,即f′(x)=y′=lim=.Δx→0limΔx→02.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k=,相应地,切线方程为.3.常用函数的导数公式C′=0(C为常数);(xn)

2、′=(n∈Q);(sinx)′=cosx;(cosx)′=;(ex)′=ex;(ax)′=;(lnx)′=;(logax)′=.f′(x0)y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)nxn-1-sinxaxlna4.导数的运算法则(1)［f(x)±g(x)］′=f′(x)±g′(x);(2)［f(x)·g(x)］′=;(3)［f(x)g(x)］′=(g(x)≠0).f′(x)g(x)+f(x)g′(x)5.函数的单调性与其导数的关系(1)对于定义在区间(a,b)内连续不间断的函数y=f(x)，由f′(x)>0y=f(x)在(a,b)内单调递

3、增f′(x)≥0在(a,b)内恒成立，其中(a,b)为f(x)的单调递增区间；(2)对于定义在区间(a,b)内连续不间断的函数y=f(x),由f′(x)<0..f′(x)≤0在(a,b)内恒成立，其中区间(a,b)为f(x)的单调递减区间.y=f(x)在(a,b)内单调递减6.函数的极值与其导数的关系(1)极值与极值点：设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近的异于x0的所有点x,都有,则称f(x0)为f(x)的极大值,记作y极大值=f(x0),x0为极大值点.反之,若,则称f(x0)为f(x)的极小值，记作y极小值=f(x

4、0),x0为极小值点，极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点.(2)若x0为可导函数f(x)的极值点，则有，不一定成立.f(x)f(x0)f′(x0)=07.函数的最值与其导数的关系(1)函数的最值：如果在函数y=f(x)的定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，都有,则称f(x0)为函数的最大值,记作ymax=f(x0);反之,若有,则称f(x0)为函数的最小值，记作ymin=f(x0).最大值和最小值统称为最值；(2)如果函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的图象是的曲线,则该函数在闭区间［a,b

5、］上一定能够取得最大值与最小值.f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)一条连续不间断8.极值与最值的区别与联系极值是反映函数的局部性质，最值是反映函数的整体性质.极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，极大值不一定比极小值大.但如果函数的图象是一条不间断的曲线，在区间(a,b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值.9.利用导数解决生活中的优化问题可归结为求函数的最值问题其解题的程序:读题(文字语言)建模(数学语言)求解(数学应用)反馈(检验作答)注意事项：(1)函数建模，要设出两个变量

6、，根据题意分析它们的关系，把变量间的关系转化成函数关系式，并确定自变量的取值范围；(2)问题求解中所得出的数学结果要检验它是否符合问题的实际意义；(3)在函数定义域内只有一个极值，则该极值就是所求的最大(小)值.10.近几年高考中和导数有关的综合题主要有以下几类(1)求参数的取值范围.多数给出单调性,利用导数研究函数单调性的逆向思维问题,灵活运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想方法,建立关于字母参数的不等关系.(2)用导数方法证明不等式.其步骤一般是：构造可导函数——研究单调性或最值——得出不等关系——整理得出结论.(3)与几何图形相关的

7、最值问题.根据几何知识建立函数关系，然后用导数方法求最值.1.函数f(x)在x=x0处的导数可表示为f′(x0)或y′

8、x=x0,即()DA.f′(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)B.f′(x0)=lim［f(x0+Δx)-f(x0)］C.f′(x0)=D.f′(x0)=limΔx→0Δx→0由导数的定义知D正确.2.下列求导运算正确的是()CA.(xn)′=nxnB.()′=C.()′=D.(sinx+cosx)′=cosx+sinx因为(xn)′=nxn-1，所以A不正确.因为()′=(x-1)′=-x-2=-,所以B不正确.因为(

9、x)′=()′==,所以C正确.因为(sinx+cosx)′=cosx-sinx,所以D不正确.故选C.3.以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体,t秒时的高度为s(t)=v0t