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1、微分方程的基本概念第一章—积分问题—微分方程问题推广微分方程理论起始于十七世纪末，是研究自然现象强有力的工具，是数学科学联系实际的主要途径之一。1676年，莱布尼兹在给Newton（牛顿）的信中首次提到DifferentialEquations（微分方程）这个名词。微分方程研究领域的代表人物：Bernoulli、Cauchy、Euler、Taylor、Leibniz、Poincare、Liyapunov等。微分方程理论发展经历了三个过程：求微分方程的解；定性理论与稳定性理论；微分方程的现代分支理论。微分方程概述引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解
2、:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.质量为m的物体在重力的作用下，沿铅直线下落物体下落距离S(向下为正）随时间t而改变。在不考虑空气阻力的情况下，试求出距离S应满足的微分方程。解：设在时刻t物体下落的距离为引例2.按牛顿第二定律微分方程：含未知函数及其导数的方程一、微分方程的概念例实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.常微分方程与偏微分方程常微分方程（ODE）：自变量的个数只有一个的偏微分方程（PDE）：自变量的个数有两个或两个微
3、分方程称为常微分方程。以上的微分方程称为偏微分方程。(n阶显式微分方程)n阶常微分方程的一般形式：或一、微分方程的概念微分方程的阶：方程中所含未知函数导数的最高阶数一阶微分方程的一般形式：线性和非线性微分方程（LinearandNonlinear）如果方程的左端为未知函数及其各阶导数的一次有理整式，则称它为线性微分方程.否则，称它为非线性微分方程。n阶线性微分方程的一般形式为：其中均为的已知函数如：2阶线性方程的一般形式使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同.特解引例1通解:特解:微分方程的解：—不含任意常数的解.确定通解中任意
4、常数的条件.n阶方程的初始条件：定解条件（初始条件）：引例1通解:特解:一阶和二阶方程初值问题（CauchyProblem）的表示例1.验证函数是微分方程的解,的特解.解:∴是方程的通解.由初始条件易得:故所求特解为：并求满足初始条件为常数）积分曲线和积分曲线族(IntegralCurve(s))一阶微分方程的解平面的一条曲线，我们称它为微分方程的积分曲线，而微分方程的通解表示表示平面的一族曲线，称它们为微分方程的积分曲线族.特解的图象:积分曲线.通解的图象:积分曲线族.引例1通解:特解:方向场（DirectionalPattern）对于一阶微分方程其右端函数的定
5、义域为在定义域的每一点处，画一个小线段，其斜率等于，此时，点集就成为带有方向的点集。称此区域为由方程确定的方向场.常微分方程求解的几何意义是：在方向场中寻求一条曲线，使这条曲线上每一点切线的方向等于方向场中该点的方向。方向场:例1画出方程的方向场。等倾线方程即即，方向场中每点的方向与该点等倾线垂直。xyo一阶微分方程的初等解法第二章可分离变量微分方程第2.1.1节可分离变量方程设y＝(x)是方程①的解,两边积分,得则有恒等式则有分离变量方程的解法:分离变量，两端积分分离变量法例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:在求解过程中每
6、一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为例3.子的含量M成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.解:根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:已知t=0时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原求下列方程的通解和要求的特解:提示:(2)分离变量练习:(1)分离变量作业P263(1),（3)4P288(1),(3),（5）P421(2),(3),（73）(9),(10)例4
7、.设曲线过点.在曲线上任取和曲线围成的面积是另一条平行线与y轴和曲线围成的面积的2倍，求曲线的方程.xyo一点，作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与x轴解:xyo两边同时对求导分离变量，积分得可分离变量的方程可化为分离变量的类型第2.1.2节齐次方程第十二章的微分方程称为齐次方程.一、齐次方程的解法作变量代换代入原式可分离变量的方程分离变量，积分后再用代替u,便得原方程的通解.例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量，积分得得故原方程的通解为(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)则例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即(C为任意常数)
8、方程变形为
