椭圆大题——含答案

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1、1.已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若k=1，求

2、AB

3、的最大值；2.设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为.（I）求E的离心率e；（II）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.3.已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为c，.(I)求直线的斜率；(II)求椭圆的方

4、程；4.已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．（I）求椭圆的离心率；（II）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．5．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=，证明：2

5、

6、=

7、

8、+

9、

10、．答案1.【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：2c=2，则c=，椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设直线AB的方程为：y=x+m，A（x1，y1

11、），B（x2，y2），联立，整理得：4x2+6mx+3m2﹣3=0，△=（6m）2﹣4×4×3（m2﹣1）＞0，整理得：m2＜4，x1+x2=﹣，x1x2=，∴

12、AB

13、==，∴当m=0时，

14、AB

15、取最大值，最大值为；2.【答案】（I）；（II）.3.【答案】(I)；(II)；【解析】(I)由已知有，又由，可得，，设直线的斜率为，则直线的方程为，由已知有，解得.(II)由(I)得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去，整理得，解得或，因为点在第一象限，可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为4.【答案】（I）

16、；（II）．试题解析：（I）过点，的直线方程为，则原点到直线的距离，由，得，解得离心率.(II)解法一：由（I）知，椭圆的方程为.(1)依题意，圆心是线段的中点，且.易知，不与轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得设则由，得解得.从而.于是.由，得，解得.故椭圆的方程为.解法二：由（I）知，椭圆的方程为.(2)5.【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的中点为M（1，m），∴x1+x2=2，y1+y2=2m将A，B代入椭圆C：+=1中，可得，两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）

17、+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，∴k==﹣=﹣点M（1，m）在椭圆内，即，解得0＜m∴．（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2∵++=，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，∴x3=1由椭圆的焦半径公式得则

18、FA

19、=a﹣ex1=2﹣x1，

20、FB

21、=2﹣x2，

22、FP

23、=2﹣x3=．则

24、FA

25、+

26、FB

27、=4﹣，∴

28、FA

29、+

30、FB

31、=2

32、FP

33、，