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1、概率论与数理统计总复习第1章随机变量及其概率1、设是两个事件，已知，求。解：，，，2、将3只球（1~3号）随机地放入3只盒子（1~3号）中，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。（1）求3只球至少有1只配对的概率。（2）求没有配对的概率。解：根据题意，将3只球随机地放入3只盒子的总的放法有3！=6种：123，132，213，231，312，321；没有1只配对的放法有2种：312，231。至少有1只配对的放法当然就有6-2=4种。所以（2）没有配对的概率为；（1）至少有1只配对的概率为。3、（1）设，求,.（2）袋中
2、有6只白球，5只红球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。解：（1）由题意可得，所以，，，，46概率论与数理统计总复习。（2）设表示“第次取到白球”这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为，它的概率为（根据乘法公式）。4、一名医生根据以往的资料得到下面的讯息，他的病人中有5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有45%的人以为自己患癌症，但实际上未患癌症；有10%的人以为自己
3、未患癌症，但确实患了癌症；最后40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。以表示事件“一位病人以为自己患癌症”，以表示事件“病人确实患了癌症”，求下列概率。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：（1）根据题意可得；；（2）根据条件概率公式：；（3）；（4）；（5）。5、在11张卡片上分别写engineering这11个字母，从中任意连抽6张，求依次排列结果为ginger的概率。解：根据题意，这11个字母中共有2个g，2个i，3个n，3个e，1个r。从中任意连抽6张，由独立性，第一次必须从这11张中抽出2个g中的任意一张来，概率为2/
4、11；第二次必须从剩余的10张中抽出2个i中的任意一张来，概率为2/10；类似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率为；或者。6、在通讯网络中装有密码钥匙，46概率论与数理统计总复习设全部收到的讯息中有95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件，“一讯息是可信的”记为事件。根据Bayes公式，所要求的概率为7、将一枚硬币抛两次，以A,B,C分别记事件“第一次得H”，“第二次得H”，“两次
5、得同一面”。试验证A和B，B和C，C和A分别相互独立（两两独立），但A,B,C不是相互独立。解：根据题意，求出以下概率为，；，，。所以有，，。即表明A和B，B和C，C和A两两独立。但是所以A,B,C不是相互独立。8、设A,B,C三个运动员自离球门25码处踢进球的概率依次为0.5,0.7,0.6，设A,B,C各在离球门25码处踢一球，设各人进球与否相互独立，求（1）恰有一人进球的概率；（2）恰有二人进球的概率；（3）至少有一人进球的概率。解：设“A,B,C进球”分别记为事件。（1）设恰有一人进球的概率为，则（由独立性）（2）设恰有二人进球的
6、概率为，则（由独立性）（3）设至少有一人进球的概率为，则46概率论与数理统计总复习。9、一元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性。如图设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5按先串联再并联的方式连接，设元件的可靠性均为，试求系统的可靠性。1第9题5432解：设“元件能够正常工作”记为事件。那么系统的可靠性为 10、用一种检验法检测食品中是否含有某种有害农药残留的效果如下。若真含有残留杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真不含有残留杂质检验结果为不含有的概率为0.9，据以往的资料知一产品真含有残留杂质或真不含有残留杂
7、质的概率分别为0.4，0.6。今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有残留杂质，而一次检验认为不含有残留杂质，求此产品真含有残留杂质的概率。解：设“一食品真含有杂质”记为事件，“对一产品进行3次检验，结果是2次检验认为含有残留杂质，而1次检验认为不含有残留杂质”记为事件。则要求的概率为，根据Bayes公式可得又设“产品被检出含有残留杂质”记为事件，根据题意有，而且，，所以；故第2章随机变量及其分布46概率论与数理统计总复习1、水自A处流至B处有3个阀门1，2，3，阀门联接方式如图所示。当信号发出时各阀门以0.8的概率打开，以
8、X表示当信号发出时水自A流至B的通路条数，求X的分布律。设各阀门的工作相互独立。解：X只能取值0，1，2。设以记第个阀门没有打开这一事件。则，类似有，AB213,综上所述，可得分布律为X012
