【培优练习】

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1、《4.2.3直线与圆的方程的应用》培优练习本课时编写：成都市第二十中学付江平1．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使得l被C截得的弦AB为直径的圆经过原点．若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．2．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？3．已知圆x2＋y2＝8，定点P(4，0)，问过P点的直线的倾斜角在什

2、么范围内取值时，该直线与已知圆：(1)相切；(2)相交；(3)相离；并写出过点P的切线方程．4．已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且·＝0(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．5．若实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，(1)求的最大值和最小值；(2)求y－x的最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．参考答案1．解：假设存在，设直线方程为y＝x＋b，则⇒2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4

3、b－4)>0．∴－3－3

4、0)，则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，即4x＋7y－28＝0．圆心(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝＝，而半径r＝3，∵d>r，∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响．3.解：设直线的斜率为k，倾斜角为α，则过点P的直线方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0.又圆心到直线的距离d＝＝，(1)相切：则d＝4⇔＝2，∴k2＝1，k＝±1，∴α＝或α＝.即当α＝或α＝时直线与圆相切，切线方程为x－y－4＝0或x＋y－4＝0.(2)相交：则d

5、线与圆相交．(3)相离：d>r⇔>2，∴k2>1，∴k>1或k<－1.∴α∈∪.又当α＝时，直线x＝4与圆相离，∴α∈时，直线与圆相离．4.解：将x＝3－2y代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0，得5y2－20y＋12＋m＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2满足条件y1＋y2＝4，y1y2＝.∵·＝0，∴x1x2＋y1y2＝0.而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2，∴x1x2＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2.∴9－6×4＋5×＝0，解得m＝3.此时Δ>0，圆心坐标为，半径r＝.．5.解：方法一：

6、(1)圆方程化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2，0)为圆心，半径为的圆．设＝k，即y＝kx，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时有＝，解得k＝±，故的最大值为，最小值为－.(2)设y－x＝b，即y＝x＋b，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，即b＝－2±，故(y－x)max＝－2＋，(y－x)min＝－2－.(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为，故(x2＋y2)max＝(2＋

7、)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.方法二：设x＝2＋cosθ，y＝sinθ，θ∈[0，2π)，(1)设＝u，则u＝.∴2u＋ucosθ＝sinθ，∴sinθ－ucosθ＝2u.sin(θ－φ)＝，∵

8、sin(θ－φ)

9、≤1，∴≤1.解之得－≤u≤.(2)y－x＝sinθ－2－cosθ＝－2＋sin(θ－)．∵－1≤sin≤1，故(y－x)max＝－2＋，(y－x)min＝－2－.(3)x2＋y2＝(2＋cosθ)2＋(sinθ)2＝7＋4cosθ，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4.(x

10、2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.