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1、面及其方程一曲面方程的概念空间曲面可看做点的轨迹，而点的轨迹可巾点的坐所满足的方程来表达。因此，空间曲面可由方程來表示，反过來也成立。为此，我们给出如下定义：若曲而S与三元方程F(x,y,z)=Q有下述关系：1、曲面5上任一点的坐标均满足方程(1);2、不在曲面$上的点的坐标都不满足方程(1)。那么，方程(1)称作曲谢5的方程，而曲面5称作方程(1)的图形。下而，我们来逮立几个常见的曲而方程。【例1】球心在点^“力’>1()，&：),半径为7?的球而方程。解：设是球面上的任一点，那么M0A/=/?,即：V(x_xo)2+(y~y())2+(z_zo)2=R(x-x0)2+(y-y
2、0)2+(z_zo)2=R2(2)(2)式就是球面上任一点的坐标所满足的方程。反过来，不在球面上的点似w，z’)，AT到礼的距离礼似尺，从而点的坐标不适合于方程(2)。故方程(2)就是以为球心，尺为半径的球面方程。若球心在原点，BP^o(xo^o^zo)=WA0),其球而方程为X2+y2+Z2=R2【例2】设有点AG，2,3)和一i，4),求线段八召垂直平分而％的方程。解：所求平面％是与A和打等距离的点的几何轨迹，设是所求平面上任意的一点，则AM=BM即:^/(x-1)2+(j—2)2+(z-3)2=yl(x-2y+(j+l)2+(z-4)2化鵬2又-6义+2z-7=0这便是平面
3、％的方程。上述两例告诉我们如下事实：作力点的几何轨迹的曲面可以用它的坐标间的方程来表示，反过来，变量％”>^之间的方程一般地表示点的轨迹所形成的曲面。因此，空间解析儿何关于曲而的研宄，有以下两个基本问题：第一、己知曲而作为点的儿何轨迹，建立该曲而的方程；第二、已知坐标的方程，研究该方程所表示的曲面形状。二旋转曲面【例3】设有一条过原点，且与Z轴夹角为《的直线I,求直线L绕2轴旋转所产生的曲面的方程。（Z,绕Z轴旋转时，始终Z与轴保持定角《）Z解：设L开始位于戸平而，雌叫，2!）*/^上-点，则Wctga当［转动时，点转到点M(x，J7,Z)在£的转动过程中，点M的！s坐标满足z=
4、ZjII点M到z轴的距离满足-Jx2+y2=
5、y,从而Z=±士2+y2•Cfga或z2=«2.U2+y2)(3)其中a=ctga这表明：曲而上任一点的坐标一定满足方程(3);反过来，如果M不在曲而上，那么直线(9M与z轴的夹角就不等于a,于是，点M的坐标就不满足方程(3)。因此，方程(3)便是所求的曲面方程。上述曲而称之为圆锥面，动直线［与z轴的交点称之为圆锥而的顶点，定角称为圆锥面的半顶角。一般地，我们给出旋转曲面的定义如下：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，这条定直线叫做旋转曲面的轴。显然，圆锥面是一种旋转曲面，求^^z平面上的直线z=>1
6、&6/绕2轴旋转所成的圆维面，只需将y改成1^*^2+}?2,即可得到圆锥面的方程Z=±^/又2+夕2•ctga用类似的方法，可求出一般旋转曲而的方程。设在平而上有一条己知曲线C,它的方程为幻=()，将C绕Z轴旋转一周，得到以Z轴为轴的旋转曲妞。^7设似1（0,3^）是（7上任一点的坐标，则/（｝i，zi）=0,当点紙旋转到点M（x，y，z）时，总有Zj=z点M到z轴的距离为如2”2=1%将2
7、=2,%=土W代入方程/（凡4）=0得到/（土ylx2+/,Z）=0这便是所要求的旋转曲血的方程。同理，曲线c绕y轴旋转所成的旋转曲面方程为/（义土aAx2+Z2）=02•2=R2三柱面表
8、示怎样的曲面？【例4】方程X解：x2+>’2=K2在面上表示圓心在原点，半径为的圆。在空间直角坐标中，该方程不含变量即不论Z取何值，只要横坐标％和纵坐标J适合方程的空间点均在该曲面上。也就是说，过圆X2+/=况2上的点且平行于Z轴的直线都在该曲面上.因此，曲而是由平行于z轴的直线沿面上的圆1+Y2■2=R2移动而形成的=R2这一曲面称作圆柱面。面上的圆又"+=穴2称之为准线，那些平行于Z轴且过准线的直线叫做母线。一般地，我们给出柱而的定义如下：平行于定直线并沿定曲线0移动的直线I形成的轨迹称之为柱面。定曲线0称为柱面的准线，动直线I称为柱面的母线。空间曲线及其方程一、空间曲线一般
9、方程我们知道，空间直线可看作W个相交平面的交线。一般地，空间曲面也可看作两个相交曲而的交线。设F(x，Z)=0和G(%,y，Z)=0是两个相交曲面的方程fF(x,y,z)=O则方程组[G(x,y,z)=O(i)表示交线的方程，称为空间曲线的一般方程。x2-4y2=4z<【例5】方程组t=表示什么曲线？解：因为x2_4f=4z表示双曲抛物面，7=—2表示平行于在面的平面，它们的交线是平面｝=一2上的抛物线。实际上将>=一2代入4)’2=4z,得f=4(z+4),因此它表示平面7=-
