自由曲线与曲面(哈工大)

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1、哈尔滨工业大学计算机学院唐好选2021年7月24日自由曲线和曲面曲线分类规则曲线：可用初等解析函数来表示如圆、椭圆、双曲线、圆球、圆柱、圆锥等自由曲线：以复杂方式自由变化，无法用初等解析函数来描述的光滑连续性曲线如汽车车身、船体外壳和飞机机翼等随机曲线：处处连续，处处不光滑且处处不可导的非规则曲线如地图边界、海岸线、水波以及超声等计算几何1969Minsky,Papert提出1972A.R.Forrest给出正式定义CAGD(ComputerAidedGeometricalDesign)1974Barnhill,Riesenfel

2、d,美国Utah大学的一次国际会议上提出涉及到计算几何、微分几何、数值分析、拓扑论和数控技术等内容对自由曲线和曲面的表示是CAGD技术要研究的主要内容研究分支对几何外形信息的计算机表示对几何外形信息的分析与综合对几何外形信息的控制与显示CAGD的研究内容曲线和曲面的基本理论，包含曲线论、曲面论，曲线曲面表示的几何不变性，参数化和参数变换参数多项式的插值和逼近，参数样条曲线，样条曲线的几何连续性Bezier曲线曲面、B样条曲线曲面、孔斯曲面和非均匀有理B样条与高维曲面的生成和性质及其应用从计算机对形状处理的角度来看（1）唯一性：要求

3、所采用的数学方法应满足由已经给定的有限信息决定的形状是唯一的（2）几何不变性：当用有限的信息决定一个曲线时，曲线的形状应是确定的，不应随所取坐标系的不同而改变形状数学描述的基本要求(1)（3）易于定界：曲线应是有界的，对形状的数学描述应易于定界（4）统一性：要能统一表示各种形状及处理各种情况,包含各种特殊情况，例如曲线描述要求用一种统一的形式表示平面曲线和空间曲线更高的要求是希望找到一种统一的数学形式，既能表示自由曲线曲面，也能表示初等解析曲线曲面，从而建立统一的数据库，便于形状信息的传递形状数学描述的基本要求（2）从形状表示与设

4、计的角度来看（1）丰富的表达能力：表达两类曲线曲面（2）易于实现光滑连接：曲线段，曲面片之间的连接（3）形状易于预测、控制和修改（4）几何意义直观：容易为工程技术人员理解和接受形状数学描述的基本要求（3）曲线的表示形式非参数表示显式表示隐式表示曲线曲面的表示形式（1）非参数方程存在如下问题形状与坐标轴相关会出现斜率无穷大的情况对于非平面曲线、曲面难以用常系数的非参数化函数表示不便于编程和计算机处理从计算机图形学和计算几何的角度看，采用参数表示曲线和曲面，可以有效解决上述问题曲线曲面的表示形式（2）参数表示：空间点P的每一个坐标均可

5、被表示为某个参数t的函数参数的含义时间，距离，角度，比例等等规范参数区间[0,1]曲线曲面的表示形式（3）参数矢量表示形式P(t)=(x,y,z)=(x(t),y(t),z(t)),等价于笛卡儿分量表示:P(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k例子：直线段的参数表示曲线曲面的表示形式（4）参数表示的好处:容易进行物理解释有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算设计或表示形状更直观，许多参数表示的基函数如Bernstein基和B样条函数，有明显的几何意义曲线曲面的表示形式（5）参数连续性传统的

6、、严格的连续性称曲线P=P(t)在t=t0处n阶参数连续，如果它在t0处n阶左右导数存在，并且满足记号参数的连续性（1）几何连续性直观的、易于交互控制的连续性0阶几何连续称曲线P=P(t)在处0阶几何连续，如果它在处位置连续，即记为1阶几何连续称曲线P=P(t)在处1阶几何连续，如果它在该处,并且切矢量方向连续记为参数的连续性（2）2阶几何连续称曲线P=P(t)在处2阶几何连续，如果它在处（1）（2）副法矢量方向连续（3）曲率连续参数的连续性（3）自由曲线曲面的发展过程（1）1963年，美国波音飞机公司，Ferguson(菲格森)

7、首先提出了将曲线、曲面表示为参数的矢函数的方法，引入三次曲线构造了组合曲线和由四个角点的位置矢量及两个方向的切矢量定义的双三次曲面片所采用的曲线曲面的参数形式定义成为自由曲线和曲面数学描述的标准形式1964年，美国MIT孔斯(Coons)提出了具有更一般性的曲面描述方法通过给定围成该曲面的4条边界就可定义一个曲面片形状控制与连接方面不完善自由曲线和曲面的发展过程（2）1964年，舍恩伯格提出了样条函数(SplineFunction)，解决了曲线段和曲面片的连接问题，采用参数形式的样条方法描述自由曲线和曲面采用样条方法解决插值问题，

8、为构造整体达到某种参数连续性的插值曲线和曲面提供了方便但局部形状控制不方便，形状难以预测自由曲线和曲面的发展过程（3）1971年，法国雷诺汽车公司Bezier(贝塞尔)以逼近为基础研究曲线、曲面的构造方法提出了由控制多边形定义曲线的方法，改变顶点位