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1、第4章自由曲线曲面4.1概述4.2参数曲线基础4.3曲线曲面拟合方法4.4参数多项式曲线4.5三次Hermite曲线4.6Bezier曲线4.7B样条曲线14.6Bezier曲线1962年，法国雷诺汽车公司P.E.Bezier工程师以“逼近”为基础UNISURF系统1972年雷诺汽车公司正式使用2Hermit曲线需要知道起点、终点的切失，这在实际工作中很难确定，如果将切矢用位矢代替，问题就会迎刃而解，Bezier就是从这点入手的。三次Bezier曲线的构造:P01=P0+1/q*P0'P0'=q(P01-P0)P10=P1+1/q
2、*P1'P1'=q(P10-P1)代入三次Hermit曲线的矩阵式。。。P0P0'P1P1'P01P10。4.6Bezier曲线34.6Bezier曲线4由得出：0≤q≤3q=3时，逼近性最好。满足正性和凸包性要求:＝B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)P0P10P1P01=B0,3(t)P0+B1,3(t)P01+B2,3(t)P10+B3,3(t)P1P(t)B0,3(t)+B1,3(t)+B2,3(t)+B3,3(t)＝1B0,3(t)≥0B1,3(t)≥0B2,3(t)≥0B3,3(t)≥04.6Bez
3、ier曲线B0,3(t),B1,3(t),B2,3(t),B3,3(t)是调和函数5将q=3代入,得:B0,3(t)=(1-t)3B1,3(t)=3t(1-t)2B2,3(t)=3t2(1-t)B3,3(t)=t34.6Bezier曲线三次Bézier曲线的四个调合函数6三次Bezier曲线的矩阵式：4.6Bezier曲线7编程步骤：（a）计算A0～A3，B0～B3（b）将t在0～1之间变化，计算相应X(t),Y(t)（c）将坐标点X(t),Y(t)逐点相连。X(t)=A0+A1t+A2t2+A3t3Y(t)=B0+B1t+B2t
4、2+B3t3A0=x0A1=-3x0+3x1A2=3x0-6x1+3x2A3=-x0+3x1-3x2+x3B0～B3计算式同上，只要将y0，y1，y2，y3代替x0，x1，x2，x3即可。4.6Bezier曲线展开，得：84.6Bezier曲线Bezier基函数--Bernstein多项式的定义三次Bezier曲线的调和函数：B0,3(t)=(1-t)3B1,3(t)=3t(1-t)2B2,3(t)=3t2(1-t)B3,3(t)=t394.6Bezier曲线Bernstein基函数的性质正性凸包性对称性降阶公式升阶公式104.6
5、Bezier曲线导数积分最大值在t=i/n处取得最大值114.6Bezier曲线Bezier曲线的定义n次多项式曲线P(t)称为n次Bezier曲线控制顶点控制多边形P0P1P2P3124.6Bezier曲线Bezier曲线的性质端点位置P0P1P2P3由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。134.6Bezier曲线端点切矢量导数曲线P0P1P2P3这说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。144.6Bezier曲线对称性不是形状对称保持贝塞尔曲
6、线全部控制点Pi的坐标位置不变，只是将控制点Pi的排序颠倒，曲线形状保持不变这个性质说明Bezier曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。154.6Bezier曲线凸包性点集的凸包包含这些点的最小凸集Bezier曲线位于其控制顶点的凸包之内164.6Bezier曲线几何不变性平面曲线的变差缩减性Bezier曲线位置和形状与其特征多边形顶点的位置有关，它不依赖坐标系的选择。平面内任意直线与曲线的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。174.6Bezier曲线二次Bezier曲线n=2,抛
7、物线P(0)=P0,P(1)=P2;P'(0)=2(P1-P0),P'(1)=2(P2-P1)P(1/2)=[P1+(P0+P2)/2]/2P0P2P1MP(0.5)P(1)P(0)说明二次Bezier曲线在t=1/2处的点经过P0P2上的中线P1M的中点。184.6Bezier曲线三次Bezier曲线n=3P0P1P2P3P(0)P(1)P(0)=P0,P(1)=P3;P'(0)=3(P1-P0),P'(1)=3(P3-P2)P"(0)=6(P0-2P1-P2)P"(1)=6(P1-2P2-P3)194.6Bezier曲线曲线的
8、拼接P2,P3(=Q0),Q1三点共线P1P0P2P3Q0Q1Q2Q3204.6Bezier曲线零阶几何连续条件一阶几何连续条件二阶几何连续条件？三点共线，且Q1,P2在连接点的异侧自学21反求控制顶点给定n+1个型值点，要求构造一条Bezier曲
