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《32个晶体点群的特征标》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、32个晶体点群的特征标唐清泉,,本文推导了32个晶体点群的特征标表这无论对化学应用还是对物理应用都具有重要的意义。:。本文分成两部分第一部分是为第二部分作一些理论上的准备第二部分是32个晶体点群的特征标表的具体推导方法.一、预备知识,。为推导32个晶体点群的特征标表我们作些准备工作首先给出正交性定理(简略,.证明)然后进行一些讨论‘·n。n,,设两个么正表示D(G)和D(G)是对于g阶群G的和维不可约表示则关系式、k”,二’*二6。、:,‘、ED(R)D(R)~66(1)称,R。称为正交关系或正交性定理::证明此定理的证明分为两部分nxn,。(l)取矩阵D(S)为不可约表示其中S遍历群G的所有
2、元素我们构造一个能满足休尔引理工(sehur产:lemmai)的矩阵A一‘=名D(S)XD(S)(2)S。。x儿其中x是一个与群元素无关的任意矩阵(但必须是型的)R)A一,因为D(=D(R)名D(S)XD(S)S一‘一’=ED(R)D(S)XD(S)D(R)D(R)S一‘=[ED(RS)XD{(RS)}〕D(R)S=月刀(R),因此我们构造的矩阵是满足休尔引理I的即108est、zl
3、.‘一-.扭-.I!I/几八UU八U、几n入U八曰人./勺了
4、JA二入EA一…。其中入的值取决于任意矩阵X的选取,,,,,由于X的选取是任意的因此为了方便我们取X的元素除(km)为1外。,;,。;,其余所有的元素
5、均为。即X二66天的值在这些条件下用。。,‘,入表示我们取(2)的A元素则有一1,2*.。,一‘:二‘,乙D(S)D(S)=入6。=12S·对上式两边取迹容易得到“一“号产:这样对于第个不可约表示上式为、,”。:”一飞卫乙:二ED(S)D(S)~6(3)n协S。(2)定理的第二部分证明和第一部分相似我们构造一个矩阵“,一’A=ED(S)XD(S)S卜‘’它显然满足D(R)A一AD(R)。,卜’是非等价的因此按照休尔引理亚的要求A二o和前面由于D(R)和D(R),X,奋,。,,,一样如果我们取~己6则i二l艺D、卜(,‘一1=0k一l22S)D(S)产S。。。。。。(3m~ln),j二12……n
6、把:(3)和(3’)结合起来并R用代替S有加,一‘”·,,R乙D‘R,D“R,一“““一乏二,‘一1,一1os丫+,。’*由于是么正表示,即D(R)=D(R)二D(R)=D(R)、‘“j二·*=,、‘;‘,乙D(丑)D(及)李6。“〔证毕〕一.~“」式。下面我们将根据正交性定理来进行一些讨论:,。。讨论1对于一个具体的群可以有无限多种表示首先存在一些很简单的表示:+一,。例如指定每个操作为l或1而得到其次有很多高阶的表示并且即使在同一空,。,间与一个表示相等价的表示也有无娘多个尽管如此在物理或化学中却只有一些表示具有重要意义。,,这就是不可约表示对于任何的有限群不可约表示的数目是有限109的。
7、。特别是群中共扼元素类的数目准确地等于不可约表示的数目,:为说明方便我们首先来证明一个很有用的关系群的不可约表示的维数平方和等于。群的阶:n,“一g(4)即En,’。。其中是不可约表示D(1{)的维数这里我们用简洁的方法来证明这个关系:,按照正则表示矩阵的构造首先我们按如下的方式构造一个乘法表即使头行的顺序是。。极左边一列中相应元素的逆这样单位元素始终出现在乘法表的对角元素上然,,,后若是要求元素R的表示矩阵只需在这样构成的乘法表中见R就用1代替而其它。:元素均为O例如、..z了、
8、
9、厂0010nUn,n甘上八曰nUo,上n.E一OO
10、
11、l(~E)一‘0000A(一A)一’1000若B(=B
12、)则D一‘0000C一(C)0100D一,一(F)F一,二000(D)根据,,这样的构造显然正则表示的特征标满足(g当了。g-Z(R)=嘴‘0当R节E由于,,正则表示是由群的乘法表构成因而正则表示的维数等于群G的阶同时也必。即须等于可约化的所有不可约表示的维数和乙a。n。二ga。:,卜‘(,:其中代表维数为的不可约表示DR)在可约表示D(R)中出现的次数其值为。,=。,。:,、。,。、*乙之(刀)之(刀)_l、二、工-一二—洲L、‘户凡’、八户9一1g五gg儿刀一.一肠:因而上式变为n,2一gE(:,n,nZn。注在实际用此公式时规定(簇……簇),。根据上面的讨论我们不难体会到一个群的不可约表
13、示的维数是有限的因为对阶g的有限群,要满足n,“一g的,n,,数为乙正整数解的数目必然是有限个因而不可约表。示的数目是有限个110:的,讨论之由于一个群表杀不仅与表示空间的基矢有关甚至也与基矢的排列顺序,,,有关因而一个群的表示不是唯一的但这些表示矩阵由于相似变换而彼此等价由,,因而在群论此这些表示的迹(即特征标)是一个不变量(因为相似变换不改变迹)。那么这些特征标之间中特别是在物理或化学的应用中
