连续系统的数字仿真(I)

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1、计算机仿真与建模廖胜辉TEL:13875857790EMAIL:lsh@csu.edu.cn1现代仿真技术与应用章节安排第一章概述第二章系统的数学模型第三章连续系统的数字仿真第四章离散事件系统仿真第六章分布式交互仿真第七章可视化、多媒体、虚拟现实仿真2现代仿真技术与应用第三章连续系统的数字仿真3.1数值积分法3.2离散相似法3.5控制系统仿真工具SIMULINK3现代仿真技术与应用第三章连续系统的数字仿真4数值积分法离散相似法间断非线性系统仿真算法分布参数的仿真算法工程领域常见的连续系统的仿真算法：现代仿真

2、技术与应用第三章连续系统的数字仿真5数值积分：是数值分析的基本问题，是微分方程初值问题的一种近似解法，其基本思想是将一阶常微分方程（或方程组）转化为差分方程（即微分方程的离散形式，便于编程实现），从而求其数值解；系统仿真：在给定初始条件可用数值积分法求解定常连续系统在一定输入作用下的变化过程。现代仿真技术与应用第三章连续系统的数字仿真3.1数值积分法6为[t0,t]内f下方的阴影面积单步法多步法预估—校正法显式公式隐式公式现代仿真技术与应用第三章连续系统的数字仿真3.1数值积分法基本原理：分类：(3-1)已

3、知某系统的一阶向量微分方程为：7数值积分法基本概念现代仿真技术与应用第三章连续系统的数字仿真单步法多步法预估—校正法计算yn+1只需用到yn的值计算yn+1需用到yn，yn-1，yn-2，yn-k的值对不能自行启动的方法，可分两步走，第一步预估，第二步校正；因此精度高，但不适用于实时仿真。显式公式隐式公式计算yn+1时所用数据均已知计算yn+1时需用到待求量yn+1，因此不能自启动常用的数值积分法：欧拉法、梯形法、四阶龙格-库塔法、亚当姆斯法83.1.1常用的积分法--欧拉法一阶微分方程为：对式(3-1)在

4、[tk,tk+!]区间上积分当步长足够小时，有现代仿真技术与应用第三章连续系统的数字仿真(3-3)(3-4)(3-1)于是可以得到微分方程的数值解为：(3-6)矩形近似及误差9这种方法的几何意义：取k=0,1,2,…N,从t0开始，逐点递推求解t1时的y1，t2时的y2…,直至tn时的yn，称之为欧拉递推公式。现代仿真技术与应用第三章连续系统的数字仿真(3-6)最简单的数值积分法，只计算一次f(t,y)函数值，计算量小，但精度很低，不实用，常用来说明基本概念。当h很小时，造成的误差是允许的。该算法具有一阶精

5、度。就是把f(t,y)在区间[tk,tk+1]内的曲边面积用矩形面积近似代替。3.1.1常用的积分法--欧拉法单步法、显示公式、能自启动。103.1.1常用的积分法—梯形法（改进欧拉法）对式(3-1)在[tk,tk+!]区间上积分用梯形面积近似（3-3）的积分项，有：现代仿真技术与应用第三章连续系统的数字仿真(3-3)梯形近似及误差(3-7)通过欧拉法计算出y(tk+1)的近似值：代入原微分方程，计算fk+1的近似值，利用梯形公式求出修正后的yk+1，得到改进后的欧拉公式为：预估校正(3-8)11几何意义：

6、现代仿真技术与应用第三章连续系统的数字仿真计算两次f(t,y)函数值，计算量增加，但精度有所提高。就是把f(t,y)在区间[tk,tk+1]内的曲边面积用梯形面积近似代替。改进的欧拉法隐式公式、不能自启动、预估—校正法。123.1.1常用的积分法—梯形法现代仿真技术与应用第三章连续系统的数字仿真预估--校正法程序框图13欧拉法梯形法回顾现代仿真技术与应用第三章连续系统的数字仿真最简单的数值积分法，只计算一次f(t,y)函数值，计算量小，但精度很低，不实用，常用来说明基本概念。当h很小时，造成的误差是允许的。

7、该算法具有一阶精度。单步法、显示公式、能自启动。计算两次f(t,y)函数值，计算量增加，但精度有所提高。隐式公式、不能自启动、预估—校正法。数值积分法：14基本思想：在积分区间[tn,tn+1]内多预估几个点的函数值，然后用其线性组合来代替函数的各阶导数，再与泰勒级数展开式中的各项对比确定其中的系数设y(t)为微分方程的解，将其在tk附近以h为变量展成泰勒级数：现代仿真技术与应用第三章连续系统的数字仿真3.1.1常用的积分法—龙格库塔法(3-9)(3-10)r为精度阶次（使用k值的个数），，，wi为待定系数

8、，由精度确定15当r=1时，当r=2时，取3.1.1常用的积分法—龙格库塔法现代仿真技术与应用第三章连续系统的数字仿真数值解与欧拉递推公式一致。数值解预估-校正公式一致。16r=3时，取现代仿真技术与应用第三章连续系统的数字仿真3.1.1常用的积分法—龙格库塔法17r=4时，取现代仿真技术与应用第三章连续系统的数字仿真3.1.1常用的积分法—龙格库塔法18各阶龙格—库塔法的精度理论上可以构造任意阶数的龙格—库塔法