双曲线经典试题

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1、双曲线习题精选精讲（1）双曲线定义——与椭圆相伴相离.双曲线的定义与椭圆定义只有一字之差，它俩之间的和谐美与对立美闪耀图形之上，渗透方程之中.从定义的角度讲，双曲线与椭圆的主要区别有三：1.按第一定义，双曲线要求动点到两定点距离之差为常数（小于两定点间的距离），而椭圆则要求动点到两定点距离之和为常数（大于两定点间的距离）；2.按第二定义，双曲线要求动点到一个定点和一条定直线的距离之比为常数e（e＞1），而椭圆则要求动点到一个定点和一条定直线的距离之比为常数e（0＜e＜1）；3.按主要参数a、b、c之间的关系，双曲线要求c

2、2=a2+b2.而椭圆则要求a2=b2+c2.【例1】若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则

3、PF1

4、·

5、PF2

6、的值是（）A.B.C.D.【解析】椭圆的长半轴为双曲线的实半轴为，故选A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键.【例2】已知双曲线与点M（5，3），F为右焦点，若双曲线上有一点P，使最小，则P点的坐标为【分析】待求式中的是什么？是双曲线离心率的倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点F（6，0），离心率右准线为.作于N，交双曲线右支于P，

7、连FP，则.此时为最小.在中，令，得取.所求P点的坐标为.（2）渐近线——双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有.双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.【例3】过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为点（1，3）代入：.代入（1）：即为所求.【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线

8、为，而无须考虑其实、虚轴的位置.（3）共轭双曲线——虚、实易位的孪生弟兄将双曲线的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.【例4】两共轭双曲线的离心率分别为，证明：=1.【证明】双曲线的离心率；双曲线的离心率.∴.（4）等轴双曲线——和谐对称与圆同美实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴.【例5】设CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它

9、的两端点与实轴任一顶点的连线成直角.【证明】如图设等轴双曲线方程为，直线CD：y=m.代入（1）：.故有：.取双曲线右顶点.那么：.即∠CBD=90°.同理可证：∠CAD=90°.●通法特法妙法（1）方程法——为解析几何正名解析法的指导思想是函数方程思想，其主要手段是列、解方程、方程组或不等式.【例6】如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为（）（A）（B）（C）（D）【解析1】设AB交x轴于M，并设双曲线半焦距为c，∵△是等边三角形，∴点代

10、入双曲线方程：.化简得：.（∵e＞1，∴及舍去）故选D.【解析2】连AF1，则△AF1F2为直角三角形，且斜边F1F2之长为2c.令由直角三角形性质知：.∵.∵e﹥1，∴取.选D.【评注】即使是解析法解题，也须不失时机地引入几何手段.（2）转换法——为解题化归立意【例7】直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围是（）A.e>B.1【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握，但是和两条

11、渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与之相交.故有如下妙解.【解析】如图设直线的倾斜角为α，双曲线渐近线的倾斜角为β.显然。当β＞α时直线与双曲线的两个交点分别在左右两支上.由.∵双曲线中，故取e>.选D.（3）几何法——使数形结合带上灵性【例8】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）A．B．C.D．【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：.设；于是，故知△PF1F2是直角三角形，∠F1P

12、F2=90°.∴.选B.【评注】解题中发现△PF1F2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处.（4）设而不求——与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例：【例9】双曲线的一