课时训练 导数的综合应用(北师大版)

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1、A级(时间：40分钟　满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使体积最大，则其高为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.cmB．100cmC．20cmD.cm解析　设圆锥的体积为Vcm3，高为hcm，则V＝π(400－h2)h＝π(400h－h3)，∴V′＝π(400－3h2)，由V′＝0，得h＝.所以当h＝cm时，V最大．答案　A2．已知对任意实数x，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，g

2、′(x)＞0，则x＜0时(　　)．A．f′(x)＞0，g′(x)＞0B．f′(x)＞0，g′(x)＜0C．f′(x)＜0，g′(x)＞0D．f′(x)＜0，g′(x)＜0解析　由题意知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数．当x＞0时，f(x)，g(x)都单调递增，则当x＜0时，f(x)单调递增，g(x)单调递减，即f′(x)＞0，g′(x)＜0.答案　B3．设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥，则p是q的(　　)．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D

3、．既不充分也不必要条件解析　∵f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1，∴f′(x)＝3x2＋4x＋m.由f(x)为增函数得f′(x)≥0在R上恒成立，则Δ≤0，即16－12m≤0，解得m≥.故为充要条件．答案　C4．(2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　)．A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)解析　令g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2＞0，∴g(x)在R上递增．又

4、g(－1)＝f(－1)－2(－1)－4＝0.∴g(x)＞0⇒x＞－1.故选B.答案　B5．对于R上可导的任意函数f(x)，满足(x－1)f′(x)≥0，则必有(　　)．A．f(0)＋f(2)＜2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)＞2f(1)解析　由(x－1)f′(x)≥0，得或①函数y＝f(x)在(－∞，1]上单调递减，f(0)＞f(1)；在[1，＋∞)上单调递增，f(2)＞f(1)．∴f(0)＋f(2)＞2f(1)．②函数y＝f(x)

5、可为常数函数，f(0)＋f(2)＝2f(1)．答案　C二、填空题(每小题4分，共12分)6．已有函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)＞0，若f(－1)＝0，那么关于x的不等式xf(x)＜0的解集是________．解析　在(0，＋∞)上有f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)单调递增．又函数f(x)是R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝0.当x＞0时，f(x)＜0，∴0＜x＜1；当x＜0时，图象关于y轴对称，f(x)＞0，∴x＜－1.答案　(－∞，－1)∪(0,1)7．

6、直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．解析　令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图，观察得－2＜a＜2时恰有三个不同的公共点．答案　(－2,2)8．(2011·北京)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．解析　当x＜2时，f′(x)＝3(x－1)2＞0，说明函数在(－∞，2)上单调递增，函数的值域是(－∞，1)，函数在[2

7、，＋∞)上单调递减，函数的值域是(0,1]，因此，结合图形要使方程f(x)＝k有两个不同的实根，则0＜k＜1.答案　(0,1)三、解答题(共23分)9．(11分)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为：y＝x3－x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解　(1)当x＝40(千米

8、/时)时，汽车从甲地到乙地行驶了＝2.5(小时)．要耗油×2.5＝17.5(升)．所以当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．(2)当速度为x千米/时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)＝·＝x2＋－(0＜x≤120)．h′(x)＝－＝(0＜x≤120)，令h′(x)＝0，得x＝80，当x∈(0,80)时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；当x∈(80,120]时，h′(x)＞0，h(x)是增函数．∴当x＝80